Question

Даны вершины треугольника ABC A(1,-2), B(7,1), C(3,7) Найти: а) уравнение стороны AB б) уравнение высоты CH в)уравнение медианы AM г) точку N пересечения медианы AM и высоты CH д) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB

Answer 1

а) Уравнение стороны АВ:

Х-Ха  У-Уа

    ______     =     ______

Хв-Ха  Ув-Уа

(х -1)/(7 - 1) = (у + 2)/(1 - (-2),

(х -1)/6 = (у + 2)/3 можно сократить на 3: (х -1)/2 = (у + 2)/1

в общем виде х - 2у - 5 = 0,

в виде с угловым коэффициентом у = (1/2)х - (5/2).

б) Уравнение высоты CH.

Угловой коэффициент к(СН) = -1/к(АВ) = -1/(1/2) = -2.

Уравнение СН имеет вид у = -2х + в.

Для определения параметра в подставим коэффициенты точки С, через которую проходит прямая.

7 = -2*3 + в,

в = 7 + 6 = 13.

СН: у = -2х + 13.

в) Уравнение медианы AM.

Точка М - середина ВС. М((7+3)/2=5; 1+7)/2=4) = (5; 4).

Уравнение АМ: (х - 5)/4 = (у + 2)/6

                          3х - 2у - 7 = 0.

                         у =(3/2)х - (7/2).

г) Точка N пересечения медианы AM и высоты CH.

Приравниваем уравнения медианы AM и высоты CH.

(3/2)х - (7/2) = -2х + 13.

3,5х = 16,5

х = 16,5/3,5 = 33/7.

у = -2*(33/7) + 13 = 25/7.

Точка пе-  Х = 4,714285714

ресечения  У = 3,571428571

.

д) Уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB

.

у = (1/2)х + в.

Подставим координаты точки С: 7 = (1/2)*3 + в,  в = 7 - 1,5 = 5,5.

Ответ: у = (1/2)х + 5,5.

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся некоторые базовые знания геометрии и алгебры. Давайте по порядку найдем все искомые величины:

а) Уравнение стороны AB: Уравнение прямой, проходящей через две точки (x₁, y₁) и (x₂, y₂), задается формулой: (y - y₁) = ((y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)) * (x - x₁)

Для стороны AB возьмем точки A(1, -2) и B(7, 1): (y - (-2)) = ((1 - (-2)) / (7 - 1)) * (x - 1) (y + 2) = (3/6) * (x - 1) y + 2 = (1/2) * (x - 1) y + 2 = (1/2)x - 1/2 y = (1/2)x - 5/2

Ответ: Уравнение стороны AB: y = (1/2)x - 5/2

б) Уравнение высоты CH: Высота перпендикулярна стороне AB и проходит через вершину C(3, 7). Уравнение такой прямой имеет вид x = const, где const = xₕ (xₕ - абсцисса точки H, являющейся пересечением высоты с стороной AB).

Ответ: Уравнение высоты CH: x = 3

в) Уравнение медианы AM: Медиана делит сторону BC пополам и проходит через вершину A(1, -2) и точку M( (x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2 ) (середина стороны BC).

Для нахождения уравнения медианы AM найдем координаты точки M: M(x, y) = ((7 + 3) / 2, (1 + 7) / 2) = (5, 4)

Теперь найдем уравнение прямой AM, используя точки A(1, -2) и M(5, 4): (y - (-2)) = ((4 - (-2)) / (5 - 1)) * (x - 1) (y + 2) = (6 / 4) * (x - 1) y + 2 = (3/2) * (x - 1) y + 2 = (3/2)x - 3/2 y = (3/2)x - 3/2 - 2 y = (3/2)x - 7/2

Ответ: Уравнение медианы AM: y = (3/2)x - 7/2

г) Точка N пересечения медианы AM и высоты CH: Так как точка N лежит на обеих прямых AM и CH, её координаты удовлетворяют обоим уравнениям. Мы уже нашли уравнение медианы AM и уравнение высоты CH.

Для точки N(x, y) имеем систему уравнений: y = (3/2)x - 7/2 x = 3

Подставим значение x в первое уравнение: y = (3/2) * 3 - 7/2 y = 9/2 - 7/2 y = 2/2 y = 1

Ответ: Точка N имеет координаты N(3, 1).

д) Уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB: Для уравнения параллельной прямой имеем формулу y = mx + b, где m - наклон (slope) прямой, который равен наклону стороны AB, и b - точка пересечения с осью y.

Мы уже знаем уравнение стороны AB: y = (1/2)x - 5/2 Сравним его с общим уравнением y = mx + b: m = 1/2, b = -5/2

Так как прямая проходит через вершину C(3, 7), подставим эти координаты в уравнение: 7 = (1/2) * 3 + b 7 = 3/2 + b b = 7 - 3/2 b = 11/2

Ответ: Уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB: y = (1/2)x + 11/2