Question

Составьте уравнение касательной к графику функции f(x)=x^3+6x^2+9x+2 на отрезке [0:4]

Answer 1

$f (x) = {x}^{3} + {6x}^{2} + 9x + 2$
$F(x) = \frac{ {x}^{4} }{4} + 2 {x}^{3} + 4.5 {x}^{2} + 2x + c$
[0.4]
$4 = \frac{ {0}^{4} }{4} + 2 \times {0}^{3} + 4.5 \times {x}^{2} + 2 \times x + c$
с=4
$F(x) = \frac{ {x}^{4} }{4} + 2 {x}^{3} + 4.5 {x}^{2} + 2x + 4$
Удачи

Answer 2

Для составления уравнения касательной к графику функции на заданном отрезке, нам понадобятся производные этой функции. Сначала найдем производную функции f(x):

f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x + 2

Чтобы найти производную, применяем правила дифференцирования для каждого члена функции:

f'(x) = d/dx (x^3) + d/dx (6x^2) + d/dx (9x) + d/dx (2)

f'(x) = 3x^2 + 12x + 9

Теперь найдем значение производной в точке x = a (где a принадлежит отрезку [0, 4]), чтобы определить наклон касательной в этой точке. Для этого подставим a в выражение для f'(x):

f'(a) = 3a^2 + 12a + 9

Теперь найдем значение функции f(x) в той же точке x = a:

f(a) = a^3 + 6a^2 + 9a + 2

Итак, уравнение касательной к графику функции f(x) в точке (a, f(a)) на отрезке [0, 4] будет иметь вид:

y = f'(a)(x - a) + f(a)

Подставляем значения f'(a) и f(a):

y = (3a^2 + 12a + 9)(x - a) + (a^3 + 6a^2 + 9a + 2)

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) на отрезке [0, 4] будет:

y = (3a^2 + 12a + 9)(x - a) + (a^3 + 6a^2 + 9a + 2)

где a принадлежит [0, 4].