Question

Найдите область определения функции : y=lg (x-2)/(1-4x)

Answer 1

(x-2)/(1-4x) > 0

x ∈ (1/4; 2)

Answer 2

Знаменатель не должен быть равен нулю, то есть 1≠4*х⇒х≠0,25. Аргумент логарифма должен быть положителен, то есть х-2>0⇒x>2

Ответ: х>2.

Answer 3

Чтобы найти область определения функции, нужно исследовать значения, при которых функция определена и не принимает бесконечные значения.

Для функции $y = \log{\frac{x-2}{1-4x}}$ область определения определяется двумя условиями:

1. Знаменатель логарифма не может быть равен нулю, так как логарифм от нуля не определен. Таким образом, $1-4x \neq 0$.

2. Аргумент логарифма $\frac{x-2}{1-4x}$ должен быть положительным, так как логарифм от отрицательных или нулевых значений не определен.

Теперь найдем, при каких значениях $x$ выполняются эти условия:

1. $1-4x \neq 0$:

Чтобы найти $x$, при которых $1-4x$ не равен нулю, решим уравнение $1-4x = 0$:

$4x = 1$

$x = \frac{1}{4}$

Таким образом, $x$ не должно быть равным $\frac{1}{4}$, чтобы избежать деления на ноль.

2. $\frac{x-2}{1-4x} > 0$:

Чтобы найти значения $x$, при которых $\frac{x-2}{1-4x}$ положительно, рассмотрим знаки числителя и знаменателя отдельно.

а) Числитель $x-2$ должен быть положительным:

$x - 2 > 0$

$x > 2$

б) Знаменатель $1-4x$ должен быть положительным:

$1 - 4x > 0$

$4x < 1$

$x < \frac{1}{4}$

Таким образом, чтобы $\frac{x-2}{1-4x}$ было положительным, $x$ должен быть больше 2 и меньше $\frac{1}{4}$.

Итак, область определения функции $y = \log{\frac{x-2}{1-4x}}$ состоит из всех значений $x$, кроме $\frac{1}{4}$, и удовлетворяющих неравенствам $x > 2$ и $x < \frac{1}{4}$. В математической записи:

$\text{Область определения: } x \in (-\infty, \frac{1}{4}) \cup (2, +\infty)$