Question

Найдите все целые значения, которые может принимать дробь 12n+109/3n+8 при натуральных значениях n. В ответ запишите сумму найденных значений. Ответ дайте в виде целого числа. (50 баллов!!!)

Answer 1

$\displaystyle \frac{12n+109}{3n+8}=\frac{12n+32+77}{3n+8}=\frac{3n*4+8*4+77}{3n+8}=4\frac{77}{3n+8};$

77 делится на 1;7;11;77;

3n+8=1; n=-7/3; ∅

3n+8=7; n=-1/3; ∅

3n+8=11; n=1;

3n+8=77; n=23;

1+23=24 сумма найденных значений

Answer 2

Для натуральных значений n, найдем все целые значения дроби (12n + 109) / (3n + 8).

Поделим числитель на знаменатель:

(12n + 109) / (3n + 8) = (3(4n + 36) + 1) / (3n + 8) = 4 + (1 / (3n + 8))

Таким образом, дробь может быть представлена в виде суммы двух частей: 4 и дроби 1 / (3n + 8).

Для того чтобы дробь была целой, вторая часть должна быть равна нулю:

1 / (3n + 8) = 0

Однако деление на ноль невозможно, так что дробь не может быть целым числом.

Следовательно, дробь (12n + 109) / (3n + 8) не принимает целых значений при натуральных значениях n.

Таким образом, ответом на задачу является число 0.