Question

Помогите, пожалуйста решить производную y=1/(e^cosx)

Answer 1

Найти производную.

$y' = \left(\dfrac{1}{e^{cosx}}\right)' = (e^{-cosx})' = (-cosx)'\times e^{-cosx} = sinx\times e^{-cosx} = \dfrac{sinx}{e^{cosx}}.$

Ответ: $\dfrac{sinx}{e^{cosx}}.$

Примечания.

1) $(-cosx)' = -(cosx)' = -(-sinx) = sinx.$

2) $(e^{ax})' = ae^{ax}.$

3) $f(g(x))' = f'(g(x))\times g'(x).$

Answer 2

Конечно, чтобы найти производную функции $y = \frac{1}{e^{\cos x}}$, вам понадобится применить правило дифференцирования сложной функции (chain rule).

Давайте разберемся по шагам:

1. Обозначим вашу функцию как $y(x) = \frac{1}{e^{\cos x}}$.

2. Перепишем $y(x)$ в виде степени натурального числа (используем свойство $a^{-b} = \frac{1}{a^b}$):

   $y(x) = e^{-\cos x}$

Теперь мы можем применить правило дифференцирования сложной функции. Пусть $u = -\cos x$ и $v = e^u$. Тогда производная функции $y(x)$ будет равна:

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

3. Найдем производные $u$ и $v$ по отдельности:

   $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x$

   $\frac{dv}{du} = \frac{d}{du}(e^u) = e^u$

4. Теперь найдем производную $y(x)$:

   $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^{-\cos x} \cdot \sin x$

Таким образом, производная функции $y(x) = \frac{1}{e^{\cos x}}$ равна $\frac{dy}{dx} = e^{-\cos x} \cdot \sin x$.