Question

Дан треугольник ABC и H — точка пересечения высот этого треугольника. Пусть D — середина отрезка BC, E — середина отрезка АС. Кроме того, медианы треугольника AED пересекаются в точке H. Найдите градусную меру угла ∠ABC

Answer 1

Как известно, медианы треугольника перескаются в одной точке, в отношении 2:1, считая от вершины треугольника  ⇒  AH/HT = 2/1

Применим теорему Менелая для ΔАЕТ и секущей CH:

(AH/HT)•(TD/DE)•(CE/AC) = 1  ⇔  (2/1)•(TD/DE)•(1/2) = 1  ⇔  TD = DE

В ΔCET, CD⊥SE, TD = DE  ⇒  CD - серединный перпендикуляр, SE || AB  ⇒  CP⊥AB, AP = PW, AW = WB, AN⊥WE ⇒  ΔACW - равнобедренный

точка Н - точка пересечения медиан ΔACW, AH = WH, AN⊥WE, значит, ΔAHW - прямоугольный и равнобедренный, WE || BC ⇒ ∠AWH = ∠ABC = 45°

Ответ: 45°

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойство медиан треугольника. Медиана, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны, делит эту сторону пополам.

Обозначим точку пересечения медиан треугольника AED за F. Таким образом, мы имеем медианы AF и DE, которые пересекаются в точке H.

Так как D и E - середины сторон BC и AC соответственно, то треугольник ABC и треугольник AED подобны с коэффициентом 2:1. Также из свойств медиан треугольника следует, что медиана делит соответствующую сторону на две равные части.

Следовательно, отношение длин медиан треугольника AED и треугольника ABC равно 2:1.

Теперь мы знаем, что отрезок AH делит медиану AF в отношении 2:1. Значит, точка H делит отрезок AF на две равные части, и, следовательно, является серединой этого отрезка.

Таким образом, точка H также является серединой отрезка BF.

Теперь обратим внимание на треугольник ABF. У него точки H и D являются серединами сторон, а значит, по свойству медиан треугольника, точка C лежит на медиане BH и делит её в отношении 2:1.

Теперь у нас есть отношение длин медиан треугольника ABF и треугольника BHC, которое также равно 2:1.

Вспомним теперь о треугольниках ABC и ABF. Точки H и E являются серединами соответствующих сторон, а значит, точка C лежит на медиане BE и делит её в отношении 2:1.

Теперь у нас есть отношение длин медиан треугольника ABC и треугольника BEC, которое также равно 2:1.

Теперь соединим точку H с вершиной треугольника C. Так как медиана делит сторону на две равные части, отрезок HC равен отрезку HB.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник HBC, в котором HC = HB. Такой треугольник является равнобедренным, а значит, углы HCB и HBC равны между собой.

Так как угол HBC это угол ABC, то градусная мера угла ∠ABC также будет равна углу HCB и углу HBC.

Таким образом, градусная мера угла ∠ABC будет равна половине угла ∠BHC.

Окончательно, градусная мера угла ∠ABC равна 1/2 * ∠BHC.