Question

Докажите, что если BB1 и CC1 - высоты треугольника ABC, а O - центр описанной окружности, то OA┴B1C1.

Answer 1

.........................................................................

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, воспользуемся свойствами окружностей и треугольников.

Дано:

• ABC - треугольник.
• BB1 и CC1 - его высоты.
• O - центр описанной окружности треугольника ABC.

Требуется доказать, что OA┴B1C1, то есть отрезок OA перпендикулярен отрезку B1C1.

Для начала, вспомним несколько свойств описанных окружностей треугольников:

1. Любая окружность, описанная около треугольника, имеет своим центром точку пересечения медиан этого треугольника.
2. Отрезок, соединяющий центр описанной окружности с вершиной треугольника, является радиусом этой окружности.

Теперь докажем, что OA┴B1C1.

Посмотрим на треугольник ABC. Он имеет медианы, проходящие через вершины их противоположных сторон. Медиана, проходящая через вершину A, также является высотой, опущенной из вершины A.

Таким образом, медиана, проходящая через A, совпадает с высотой BB1 треугольника ABC. Обозначим точку их пересечения как M.

Теперь по свойству описанных окружностей треугольников, центр описанной окружности треугольника ABC совпадает с точкой M, где M - точка пересечения медиан треугольника.

Теперь обратим внимание на треугольник B1C1M. Он также имеет медианы, проходящие через вершины их противоположных сторон. Медиана, проходящая через M, совпадает с высотой треугольника ABC, проходящей через A. Это следует из свойств медиан треугольника.

Таким образом, медиана, проходящая через M, совпадает с высотой B1C1 треугольника B1C1M.

Теперь по свойству описанной окружности треугольника B1C1M, центр описанной окружности (обозначим его как O') лежит на пересечении медиан треугольника B1C1M. Но мы уже выяснили, что точка M является центром описанной окружности треугольника ABC, а значит, O совпадает с O'.

Таким образом, мы получили, что O лежит на медиане B1C1M (так как O совпадает с O', а O' лежит на медиане B1C1M). Но медиана B1C1M является высотой B1C1 треугольника B1C1M.

Следовательно, отрезок OA перпендикулярен отрезку B1C1, что и требовалось доказать.