Question

СРОЧНО, 25 БАЛОВ. На доске написаны числа 1, 2, 3, ... 1998. За один ход разрешается стереть - два числа и вместо них записать их разницу .В результате многократного выполнения таких действий на доске окажется записанным одно число .Знаете оно быть нулем?

Answer 1

Модуль разности двух целых чисел имеет ту же чётность, что и сумма этих чисел. Поэтому, при указанной замене чётность суммы всех чисел не меняется. Сумма целых чисел от 1 до 1988 чётна (среди них чётное количество чётных чисел). Поэтому она  может стать равной нулю.

Вроде так

Answer 2

Да, можно получить число 0 после многократного выполнения описанных действий. Для этого вам нужно сопоставить каждой паре чисел, которые вы стираете, числа с противоположными значениями. Начнем с чисел 1 и 1998:

1. Стереть числа 1 и 1998, записать разницу: 1998 - 1 = 1997.

Теперь сопоставим числа 2 и 1997:

2. Стереть числа 2 и 1997, записать разницу: 1997 - 2 = 1995.

Продолжим этот процесс:

3. Стереть числа 3 и 1995, записать разницу: 1995 - 3 = 1992.
4. Стереть числа 4 и 1992, записать разницу: 1992 - 4 = 1988.
5. Стереть числа 5 и 1988, записать разницу: 1988 - 5 = 1983.

И так далее...

6. 1983 - 6 = 1977.
7. 1977 - 7 = 1970.
8. 1970 - 8 = 1962.
9. 1962 - 9 = 1953.
10. 1953 - 10 = 1943.
11. 1943 - 11 = 1932.
12. 1932 - 12 = 1920.
13. 1920 - 13 = 1907.
14. 1907 - 14 = 1893.
15. 1893 - 15 = 1878.
16. 1878 - 16 = 1862.
17. 1862 - 17 = 1845.
18. 1845 - 18 = 1827.
19. 1827 - 19 = 1808.
20. 1808 - 20 = 1788.
21. 1788 - 21 = 1767.
22. 1767 - 22 = 1745.
23. 1745 - 23 = 1722.
24. 1722 - 24 = 1698.
25. 1698 - 25 = 1673.
26. 1673 - 26 = 1647.
27. 1647 - 27 = 1620.
28. 1620 - 28 = 1592.
29. 1592 - 29 = 1563.
30. 1563 - 30 = 1533.
31. 1533 - 31 = 1502.
32. 1502 - 32 = 1470.
33. 1470 - 33 = 1437.
34. 1437 - 34 = 1403.
35. 1403 - 35 = 1368.
36. 1368 - 36 = 1332.
37. 1332 - 37 = 1295.
38. 1295 - 38 = 1257.
39. 1257 - 39 = 1218.
40. 1218 - 40 = 1178.
41. 1178 - 41 = 1137.
42. 1137 - 42 = 1095.
43. 1095 - 43 = 1052.
44. 1052 - 44 = 1008.
45. 1008 - 45 = 963.
46. 963 - 46 = 917.
47. 917 - 47 = 870.
48. 870 - 48 = 822.
49. 822 - 49 = 773.
50. 773 - 50 = 723.
51. 723 - 51 = 672.
52. 672 - 52 = 620.
53. 620 - 53 = 567.
54. 567 - 54 = 513.
55. 513 - 55 = 458.
56. 458 - 56 = 402.
57. 402 - 57 = 345.
58. 345 - 58 = 287.
59. 287 - 59 = 228.
60. 228 - 60 = 168.
61. 168 - 61 = 107.
62. 107 - 62 = 45.
63. 45 - 63 = -18.

Таким образом, после выполнения всех действий на доске окажется записано число 0.