Question

На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 2018.За один ход разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность.В результате многократного выполнен я таких действий на доске окажется записанным одно число. Может ли оно быть нулем?

Answer 1

Сумма всех чисел на доске равна $\frac{2018\times2019}{2}=1009\times2019$ то есть нечетна. Покажем, что четность суммы не меняется, то есть последнее число должно оказаться нечетным.

База: первым ходом стираются два числа. Так как их разность той же четности, что и их сумма, то четность суммы чисел не изменилась.

Переход: пусть после k ходов сумма нечетна. Покажем что следующим ходом мы не поменяем четность сумма. Но для этого достаточно применить рассуждения изложенные в базе. Значит через k+1 ход сумма чисел останется нечетной.

Так как 0 - число четное, а в итоге должно получиться нечетное число, то ответ на задачу отрицателен.

Ответ: нет

Answer 2

Да, число на доске может быть нулем после нескольких ходов.

Рассмотрим процесс последовательного стирания чисел и записи их разности. При каждом ходе сумма чисел на доске уменьшается на значение разности стираемых чисел. Если выбрать два числа одинакового значения, их разность будет равна нулю.

Изначально на доске имеются 2018 чисел. Если выбрать два числа с одинаковым значением и продолжать выполнять такие ходы, сумма чисел на доске будет уменьшаться на 2 каждый раз, пока не останется только одно число. Поскольку 2018 делится на 2 без остатка, возможно разместить 1009 пар чисел с одинаковыми значениями, каждая пара даст разность равную нулю.

Следовательно, после нескольких ходов на доске окажется число ноль.