Question

50баллов! В треугольнике заданы вершина А(4,6), уравнения медианы x-5y+7=0 и высоты x+4y-2=0 выходящих из одной вершины. Найти координаты остальных вершин, составить уравнения сторон, а также найти длину высоты треугольника.

Answer 1

Уравнение высоты: $y=-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}$, значит, уравнение противолежащей стороны будет выглядеть так: $y=4x+b$. Зная, что сторона проходит через точку (4; 6), найдём b: $6=4*4+b\Leftrightarrow b=-10$. То есть $y=4x-10\Leftrightarrow 4x-y-10=0$ - уравнение одной из сторон.

Медиана пересекает сторону в точке (3; 2). Вычислим координаты второй вершины: $\frac{x+4}{2}=3; \frac{y+6}{2}=2 \Leftrightarrow x=2; y=-2$.

Найдём третью вершину - точку пересечения медианы и высоты. Они пересекаются в точке (-2; 1).

Найдём уравнения остальных сторон по уравнению прямой $(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0$:

1) Сторона, соединяющая точки (4; 6) и (-2; 1): $5x-6y+16=0$

2) Сторона, соединяющая точки (2; -2) и (-2; 1): $3x+4y+2=0$

Найдём точку пересечения высоты и противолежащей стороны (выразим их через y и приравняем):

$4x-10=\frac{1}{2}-\frac{x}{4} \\16x-40=2-x\\17x=42\\x=\frac{42}{17}\Rightarrow y=4x-10=4* \frac{42}{17}-10=-\frac{2}{17}$

Длина высоты $h=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2}=\sqrt{(\frac{42}{17}+2)^2+(1+\frac{2}{17})^2}=\sqrt{\frac{76^2}{17^2}+\frac{19^2}{17^2}}=\\=\sqrt{\frac{6137}{17^2}}=\sqrt{\frac{19^2*17}{17^2}}=\frac{19\sqrt{17}}{17}$

Ответ: вершины: (4; 6), (2; -2), (-2; 1); уравнения сторон: $4x-y-10=0$, $5x-6y+16=0$, $3x+4y+2=0$; длина высоты: $\frac{19\sqrt{17}}{17}$

Answer 2

Для начала, найдем координаты вершины, из которой выходят медиана и высота.

1. Найдем вершину, из которой выходят медиана: Медиана треугольника делит сторону, к которой она проведена, пополам. Так как медиана выходит из вершины А(4, 6), то она также должна проходить через середину противоположной стороны треугольника.

Середина стороны можно найти, если у нас есть координаты двух вершин этой стороны. Предположим, что вершины В и С являются вершинами треугольника, противоположными сторонам, через которые проведены медиана и высота соответственно.

Таким образом, координаты середины стороны ВС будут: M((4 + x)/2, (6 + y)/2), где x и y - это координаты вершин В и С соответственно.

2. Найдем вершину, из которой выходит высота: Высота перпендикулярна стороне треугольника и проходит через вершину треугольника. Так как высота выходит из вершины А(4, 6), то она должна проходить через вершину, противоположную стороне, на которой она проведена.

Предположим, что вершина С является вершиной треугольника, противоположной стороне, на которой проведена высота.

Теперь, найдем точку пересечения медианы и высоты. Это будет вершина треугольника С(x, y).

Найдем x и y из системы уравнений медианы и высоты: x - 5y + 7 = 0 ...(1) (уравнение медианы) x + 4y - 2 = 0 ...(2) (уравнение высоты)

Решим эту систему уравнений:

Умножим уравнение (1) на 4: 4x - 20y + 28 = 0

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1): (4x - 20y + 28) - (x + 4y - 2) = 0 3x - 24y + 30 = 0

Теперь выразим y из уравнения (3): 3x - 24y + 30 = 0 24y = 3x + 30 y = (3x + 30) / 24 y = (x + 10) / 8

Теперь, используем уравнение медианы (1), чтобы найти x: x - 5y + 7 = 0 x - 5((x + 10) / 8) + 7 = 0 x - (5/8)x - 25/8 + 7 = 0 (8/8)x - (5/8)x - 25/8 + 56/8 = 0 (3/8)x + 31/8 = 0 (3/8)x = -31/8 x = -31/8 * 8/3 x = -31/3

Теперь, подставим найденное x в уравнение высоты (2), чтобы найти y: x + 4y - 2 = 0 (-31/3) + 4y - 2 = 0 4y = 31/3 + 6/3 4y = 37/3 y = 37/3 * 1/4 y = 37/12

Таким образом, вершина С имеет координаты С(-31/3, 37/12).

Теперь у нас есть координаты всех вершин треугольника: A(4, 6) B(x, y) - найденные ранее координаты середины стороны ВС C(-31/3, 37/12)

Длина стороны ВС (a) может быть найдена используя расстояние между двумя точками (A и C): a = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) a = √((-31/3 - 4)^2 + (37/12 - 6)^2) a = √((-(31/3 + 12)/3)^2 + (1/12)^2) a = √((-43/3)^2 + 1/144) a = √(1849/9 + 1/144) a = √(1849/9 + 1/144) * (144/144) a = √(1849*16 + 1) / 12 a = √(29584 + 1) / 12 a = √29585 / 12 ≈ 54.35

Таким образом, длина стороны ВС (a) составляет приблизительно 54.35 единицы.

Теперь, у нас есть координаты всех вершин треугольника и длина одной из его сторон. Вы можете использовать эту информацию для составления уравнений сторон треугольника и решения других задач.