Question

Найти интеграл ∫sin^4x*cos xdx

Answer 1

Решаем методом подстановки

Answer 2

Для нахождения интеграла ∫sin^4(x) * cos(x) dx, мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям.

Формула интегрирования по частям: ∫u dv = uv - ∫v du

Пусть u = sin^4(x) и dv = cos(x) dx. Тогда du = 4 * sin^3(x) * cos(x) dx (производная sin^4(x)) и v = ∫cos(x) dx = sin(x).

Теперь применяем формулу интегрирования по частям: ∫sin^4(x) * cos(x) dx = sin^4(x) * sin(x) - ∫sin(x) * 4 * sin^3(x) * cos(x) dx

Теперь давайте упростим второй член: ∫sin(x) * 4 * sin^3(x) * cos(x) dx = 4 * ∫sin^4(x) * cos(x) dx

Таким образом, получаем следующее уравнение: ∫sin^4(x) * cos(x) dx = sin^4(x) * sin(x) - 4 * ∫sin^4(x) * cos(x) dx

Теперь переместим все члены с интегралом в одну сторону: ∫sin^4(x) * cos(x) dx + 4 * ∫sin^4(x) * cos(x) dx = sin^4(x) * sin(x)

Теперь выразим интеграл, который нужно найти: (1 + 4) ∫sin^4(x) * cos(x) dx = sin^4(x) * sin(x)

Таким образом, 5 ∫sin^4(x) * cos(x) dx = sin^4(x) * sin(x)

И окончательно, интеграл ∫sin^4(x) * cos(x) dx равен: ∫sin^4(x) * cos(x) dx = (1/5) * sin^4(x) * sin(x) + C,

где C - произвольная константа.