Question

Обчислити обєм тіла , утвореного обертанням навколо осі ОХ y=2x,y=x

Answer 1

Объем  тела вращения по формуле

$V=\pi \int\limits^a_b {F^2(x)} \, dx=\pi \int\limits^a_b x^2 \, dx= \pi \frac{x^3}{3}$

Остаётся вычислить.

Answer 2

Для обчислення об'єму тіла, утвореного обертанням кривих навколо осі OX, потрібно скористатися методом обертання (методом кільцевих слоїв).

Спочатку знайдемо точки перетину обох кривих:

1. Поставимо їх рівні між собою: 2x = x.
2. Віднімемо x з обох боків: 2x - x = x - x.
3. Отримаємо x = 0.

Таким чином, точка перетину обох кривих - (0, 0).

Тепер для знаходження об'єму тіла методом обертання, інтегруємо функцію площі поперечного перерізу зі смугами (кільцевими слоями) навколо осі OX.

Площа кільцевого слою може бути знайдена як різниця площ двох кіл: dA = π(R^2 - r^2), де R - радіус зовнього кола, r - радіус внутрішнього кола.

Так як ми обертаємо фігуру навколо осі OX, то радіус зовнішнього кола буде y = 2x, а радіус внутрішнього кола - y = x.

Тепер можемо записати інтегральну формулу для об'єму V:

V = ∫[a, b] π(R^2 - r^2) dx, де a та b - це межі перетину кривих, тобто a = 0, b = 2.

V = ∫[0, 2] π((2x)^2 - x^2) dx V = ∫[0, 2] π(4x^2 - x^2) dx V = ∫[0, 2] π(3x^2) dx V = π * 3 * ∫[0, 2] x^2 dx V = π * 3 * [x^3/3] |[0, 2] V = π * 3 * [(2^3)/3 - (0^3)/3] V = π * 3 * (8/3) V = 8π

Отже, об'єм тіла, утвореного обертанням кривих y = 2x та y = x навколо осі OX, дорівнює 8π одиницям об'єму.