Question

Диагональ АС четырехугольника АВСД является диаметром окружности , описанной около этого четырёхугольника. Вычислить длину диагонали ВД , если АС=4 , СД=2 корень из 2 УголВАС : уголСАД=2:3 В ответе укажите значение (2ВД-СД)^2

Answer 1

<ВАС=2х,  <САД=3х Треугольники АВС и АДС прямоугольные ,т.к.  опираются на диаметр Из тр-ка АДС АД^2=АС^2-ДС^2=16-8=8  АД=2V2 -тр-к АДС равнобедренный и <CАД=<ДСА=3х=45 гр.   тогда х=15 град. и <ВАС=30 град. и тогда ВС=1/2АС=2. < ВСД= 180-(45+30)=105 град. и ВД можно найти из тр-ка ВСД по теор. косинусов. ВД^2=ВС^2+СД^2-2ВС*СД*cos105

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобятся некоторые свойства четырехугольника, описанного около окружности.

1. Диагональ АС является диаметром окружности, описанной около четырехугольника АВСД. Это означает, что угол ВАС является прямым углом (180 градусов).

2. Из свойства окружности можно сказать, что углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Таким образом, угол ВСА равен углу СДА.

3. По условию задачи, угол ВАС и угол САД связаны отношением 2:3. Обозначим угол ВАС за x, тогда угол САД равен (3/2)x.

Теперь, используем эти свойства для решения задачи:

Угол ВСА + угол ВАС + угол САД + угол СДА = 360 градусов (сумма углов четырехугольника)

x + 180 + (3/2)x + (3/2)x = 360

5x + 180 = 360

5x = 360 - 180

5x = 180

x = 180 / 5

x = 36 градусов

Теперь, зная значение угла ВАС, можем вычислить угол ВСА и угол САД:

Угол ВСА = 180 - x = 180 - 36 = 144 градуса

Угол САД = (3/2)x = (3/2) * 36 = 54 градуса

Теперь, применим теорему синусов к треугольнику АВС:

sin(ВСА) = AC / AS (где AS - диагональ)

sin(144) = 4 / AS

AS = 4 / sin(144)

AS ≈ 4.16

Теперь, вычислим длину диагонали SD:

sin(СДА) = SD / AS

sin(54) = SD / 4.16

SD = 4.16 * sin(54)

SD ≈ 3.34

Наконец, вычислим длину диагонали ВД:

VD^2 = VA^2 + AD^2 (по теореме Пифагора для треугольника ВАD)

VD^2 = 4^2 + (2√2)^2

VD^2 = 16 + 8

VD^2 = 24

Теперь, подставим значения СД и ВД в выражение (2ВД-СД)^2:

(2√24 - √3.34)^2 ≈ (24.9 - 1.83)^2 ≈ (9.8 - 1.83)^2 ≈ 7.97^2 ≈ 63.52

Итак, значение выражения (2ВД-СД)^2 равно примерно 63.52.