Question

В классе 25 учеников: 12 мальчиков и 13 девочек. Найти вероятность того, что среди случайно в выбранных 10 человек окажутся 5 мальчиков и 5 девочек.

Answer 1

Количество всех возможных вариантов выбора 10 человек из 25 (т.к. нам не важен порядок) -- это количество сочетаний $C_{25}^{10}$

Возможность выбора 5 мальчиков из 12 -- $C_{12}^5$

Девочек: $C_{13}^5$

Нам нужно пересечение событий (5 девочек и 5 мальчиков), значит количество благоприятствующих вариантов:

$C_{12}^5*C_{13}^5$

Значит, искомая вероятность:

$P(A)=\frac{C_{12}^5C_{13}^5}{C_{25}^{10}}$

($C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$)

Тогда, $P(A)=11583/37145=0.312$

Answer 2

Для решения этой задачи, нам нужно использовать биномиальное распределение, которое поможет нам определить вероятность получения определенного числа успехов (в данном случае, число мальчиков) при проведении серии независимых экспериментов (выбор 10 учеников из 25).

Формула биномиального распределения: P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k)

где:

• P(X = k) - вероятность получения k успехов (в нашем случае, 5 мальчиков и 5 девочек),
• n - общее число экспериментов (выбираем 10 человек из 25),
• k - число успехов (количество мальчиков в выборке),
• C(n, k) - число сочетаний из n по k (т.е. количество способов выбрать k объектов из n),
• p - вероятность успеха в каждом отдельном эксперименте (вероятность выбрать мальчика).

В данной задаче вероятность выбрать мальчика равна числу мальчиков в классе (12) поделенному на общее число учеников (25):

p = 12/25

Теперь мы можем рассчитать вероятность P(X = 5) - то есть вероятность выбрать ровно 5 мальчиков и 5 девочек из 10 случайно выбранных учеников:

P(X = 5) = C(10, 5) * (12/25)^5 * (1 - 12/25)^(10 - 5)

Для вычисления сочетаний C(10, 5) используется формула: C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!).

Таким образом:

C(10, 5) = 10! / (5! * 5!) = 252

Теперь можем рассчитать вероятность:

P(X = 5) = 252 * (12/25)^5 * (13/25)^5 ≈ 0.0971

Ответ: Вероятность того, что среди случайно выбранных 10 учеников окажутся 5 мальчиков и 5 девочек, составляет примерно 0.0971 или около 9.71%.