Question

Как найти наименьшее значение функции? Сам принцип объясните

Answer 1

Здесь можно и без производной. Функция 16^z возрастает, поэтому наименьшее свое значение принимает при наименьшем z.

То есть сначала нужно найти наименьшее значение показателя $x^2-5x+6$. График - парабола с рогами, направленными вверх, поэтому наименьшее значение многочлен принимает в вершине параболы. Абсцисса вершины:

$x_0=-\frac{b}{2a} =\frac{5}{2}$

Ордината - значение многочлена в точке $\frac{5}{2}$ - равна $-\frac{1}{4}$. Это наименьшее значение многочлена. Тогда наименьшее значение нашей функции равно

$16^{-\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$

Answer 2

Чтобы найти наименьшее значение функции, нужно найти точку (или точки) на графике функции, где она достигает наименьшего значения. Существуют различные методы для нахождения минимума функции, и выбор метода зависит от характеристик функции и доступности информации о ней.

Один из наиболее распространенных методов для нахождения минимума функции – это метод дифференциального исчисления. Для функций, которые дифференцируемы во всей области определения, минимум будет находиться в точке, где производная функции равна нулю или не существует (критические точки). Это происходит потому, что производная функции показывает наклон кривой, и когда она равна нулю, это может означать точку экстремума.

Принцип нахождения минимума функции с использованием дифференцирования:

1. Найдите производную функции.
2. Решите уравнение для производной, приравняв ее к нулю.
3. Найдите значения x, которые являются решениями этого уравнения (критические точки).
4. Проверьте значения функции в найденных критических точках и на границах области определения функции.
5. Минимальное значение функции будет соответствовать наименьшему из найденных значений.

Иногда может быть необходимо также проверить, являются ли найденные критические точки точно минимумами, а не максимумами или точками перегиба. Это можно сделать, проанализировав знаки второй производной функции в этих точках. Если вторая производная положительна в точке, то это говорит о том, что функция имеет минимум в данной точке.

Важно помнить, что методы оптимизации функций могут быть более сложными, если функция имеет множество экстремумов, имеет разрывы или не является дифференцируемой на всей области определения. В таких случаях могут использоваться численные методы или алгоритмы оптимизации для нахождения минимума функции.