Question

Помогите пж. y'-y-3=0 найдите общее решение уравнений. умоляю!!!

Answer 1

Не трудно заметить, что данное дифференциальное уравнение относится к уравнению с разделяющимися переменными.

$\frac{dy}{dx}=y+3\\ \int\frac{dy}{y+3}=\int dx\\\ln|y+3|=x+C\\ y=Ce^x-3$

Answer 2

Конечно, я помогу! Данное дифференциальное уравнение выглядит как линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Для его решения, нам нужно найти такую функцию y(x), которая удовлетворяет уравнению y' - y - 3 = 0.

Чтобы найти общее решение этого уравнения, воспользуемся методом разделения переменных. Сначала перепишем уравнение в стандартной форме:

y' = y + 3

Теперь разделим уравнение на (y + 3):

y' / (y + 3) = 1

Затем проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫(y' / (y + 3)) dx = ∫1 dx

Интеграл слева возьмем по переменной y, а справа просто по переменной x:

ln|y + 3| = x + C

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь избавимся от логарифма, возведя обе стороны уравнения в экспоненту:

|y + 3| = e^(x + C)

Теперь разберемся с абсолютными значениями. Помним, что |y + 3| означает либо (y + 3), либо -(y + 3). Таким образом, у нас возникнут два случая:

1. (y + 3) = e^(x + C)

2. -(y + 3) = e^(x + C)

3. Рассмотрим первый случай:

(y + 3) = e^(x + C)

Теперь выразим y:

y = e^(x + C) - 3

где (x + C) также можно представить как новую произвольную постоянную K:

y = e^x * e^K - 3

y = C * e^x - 3, где C = e^K (новая постоянная)

2. Рассмотрим второй случай:

-(y + 3) = e^(x + C)

Теперь выразим y:

y = -e^(x + C) - 3

аналогично представим (x + C) как новую произвольную постоянную K:

y = -e^x * e^K - 3

y = -C * e^x - 3, где C = e^K (новая постоянная)

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

y(x) = C * e^x - 3 или y(x) = -C * e^x - 3,

где C - произвольная постоянная.