Question

Помогите решить по правилу Лопиталя. lim(x стремится к 0)(1-cosx)ctgx

Answer 1

$lim \: \frac{(1 - cos \: x) \: cosx}{sin \: x} = \frac{0}{0}$
$= lim \frac{ - \cos(x) \sin(x) }{ \cos(x) } = 0$

Answer 2

Для решения данного предела с использованием правила Лопиталя, следует выполнить два шага:

Шаг 1: Вычислить предел функции f(x) и предел функции g(x) в точке, к которой стремится аргумент (в данном случае x стремится к 0).

Шаг 2: Взять производную от f(x) и g(x), а затем вычислить предел их отношения при x стремящемся к 0.

Давайте выполним эти шаги по порядку:

Шаг 1: f(x) = 1 - cos(x) g(x) = ctg(x) (или сot(x) - котангенс)

Подставим x = 0 в функции f(x) и g(x): f(0) = 1 - cos(0) = 1 - 1 = 0 g(0) = ctg(0) = cot(0) = неопределен (так как ctg(x) = 1/tan(x), а tan(0) = 0)

Шаг 2: Вычислим производные функций f(x) и g(x): f'(x) = sin(x) (производная от cos(x)) g'(x) = -csc^2(x) (производная от ctg(x), или csc^2(x) = 1/sin^2(x))

Теперь найдем предел отношения производных при x стремящемся к 0: lim(x стремится к 0) [f'(x) / g'(x)] = lim(x стремится к 0) [sin(x) / (-csc^2(x))] = lim(x стремится к 0) [-sin(x) * sin^2(x)] = 0

Итак, предел функции (1 - cos(x)) * ctg(x) при x стремящемся к 0 равен 0.