Question

Исследовать ряды на сходимость ∑(1+n)/(3+n^2)

Answer 1

Ответ:

$\frac{1+n}{3+n^2} =O(\frac{1}{n})$

При

$n\to +\infty$

Поэтому исходный ряд расходится.

Answer 2

Для исследования сходимости данного ряда используем методы сравнения.

Рассмотрим ряд: ∑(1+n)/(3+n^2)

Сначала заметим, что для всех натуральных n > 0 выполняется неравенство: 1+n ≤ n^2.

Теперь воспользуемся методом сравнения:

1. Сравнение с гармоническим рядом: (1/n^2). Мы знаем, что гармонический ряд ∑(1/n) расходится. Поскольку для всех n > 0 выполняется 1/n ≤ 1/n^2, то наш ряд тоже расходится.

2. Сравнение с рядом 1/n^2. Ряд ∑(1/n^2) является сходящимся. Поскольку для всех n > 0 выполняется (1+n)/(3+n^2) ≤ 1/n^2, то наш ряд тоже сходится.

Таким образом, наш исходный ряд ∑(1+n)/(3+n^2) сходится по сравнению с сходящимся рядом ∑(1/n^2).