Question

Пускай m и n--такие числа,что число (m*m)+9mn+(n*n) делится на 11.Докажите, что число (n*n) -(m*m) тоже делится на 11

Answer 1

$n^{2}+9mn+m^{2}=n^{2}-2mn+m^{2}+11mn=(n-m)^{2}+11mn$

Т.к. исходное выражение делится на 11 и 11mn делится на 11, то и $(n-m)^{2}$ делится на 11. Откуда следует, что (n - m) делится на 11.

Т.к. $n^{2}-m^{2}=(n-m)(n+m)$, а (n - m) делится на 11, как мы уже доказали, получаем, что и $n^{2}-m^{2}$ делится на 11.

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение.

Для начала, предположим, что (m * m) + 9mn + (n * n) делится на 11. Это означает, что существует целое число k, такое что:

(m * m) + 9mn + (n * n) = 11k ... (1)

Теперь рассмотрим выражение (n * n) - (m * m). Мы можем представить его как разность квадратов:

(n * n) - (m * m) = (n + m) * (n - m)

Теперь давайте рассмотрим числовые выражения (n + m) и (n - m) по отдельности.

1. Выражение (n + m):

Из уравнения (1) мы можем выразить m * m следующим образом:

m * m = 11k - 9mn - (n * n)

Теперь добавим m к обоим частям выражения:

m * m + m = 11k - 9mn - (n * n) + m

m * m + m = 11k - 9mn - (n * n) + 11m - 11m

m * m + m = 11(k + m) - n(9m + n)

Теперь мы видим, что выражение (m * m) + m является кратным 11.

2. Выражение (n - m):

Из уравнения (1) мы можем выразить n * n следующим образом:

n * n = 11k - 9mn - (m * m)

Теперь вычтем m из обеих частей выражения:

n * n - m = 11k - 9mn - (m * m) - m

n * n - m = 11k - 9mn - (m * m) - 11m + 10m

n * n - m = 11(k - m) - m(9n + m)

Теперь мы видим, что выражение (n * n) - m является кратным 11.

Таким образом, если (m * m) + 9mn + (n * n) делится на 11, то и (n * n) - (m * m) также делится на 11.