Question

Помогите пожалуйста, с математикой докажите, что функция f(x) = x^3 −x + 1 непрерывна на R

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Все элементарные функции, к которым относятся функции вида x^n, а также их сочетания с использованием сложения, вычитания, умножения и деления неразрывны в области их определения, которой является множество R.

Наша функция как раз и является суммой элементарных функций y=x³ и y=-x+1

Таким образом, f(x) =x³-x+1 является неразрывной в области R

Answer 2

Для доказательства того, что функция f(x) = x^3 - x + 1 непрерывна на всей числовой прямой R, мы должны показать, что она непрерывна в каждой точке x_0 из R.

Функция называется непрерывной в точке x_0, если выполняются три условия:

1. f(x_0) определена (то есть функция существует в точке x_0).
2. Предел функции при x стремящемся к x_0 существует.
3. Значение функции в точке x_0 равно пределу функции в этой точке: lim(x->x_0) f(x) = f(x_0).

Теперь рассмотрим каждое из этих условий:

1. Функция f(x) = x^3 - x + 1 определена для любого x, так как это полиномиальная функция, и полиномы определены на всем множестве действительных чисел.

2. Вычислим предел функции f(x) при x стремящемся к x_0:

lim(x->x_0) (x^3 - x + 1)

Поскольку полиномы являются непрерывными на всем R, то предел x^3 при x стремящемся к x_0 равен x_0^3:

lim(x->x_0) x^3 = x_0^3

Также предел x при x стремящемся к x_0 равен самому x_0:

lim(x->x_0) x = x_0

Предел константы 1 равен 1:

lim(x->x_0) 1 = 1

Теперь, используя свойство пределов арифметических операций, вычислим предел функции f(x) при x стремящемся к x_0:

lim(x->x_0) (x^3 - x + 1) = lim(x->x_0) x^3 - lim(x->x_0) x + lim(x->x_0) 1 = x_0^3 - x_0 + 1

3. Теперь нам нужно показать, что f(x_0) равна пределу функции при x стремящемся к x_0:

f(x_0) = x_0^3 - x_0 + 1

Мы вычислили, что lim(x->x_0) f(x) = x_0^3 - x_0 + 1

Таким образом, f(x) = x^3 - x + 1 непрерывна на всей числовой прямой R, так как выполняются все три условия непрерывности в каждой точке x_0 из R.