Question

Sina/1+cosa+sina/1-cosaупростить выражение

Answer 1

$\dfrac{\sin \alpha}{1+\cos\alpha}+\dfrac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\sin\alpha\left(\dfrac{1-\cos \alpha}{1-\cos^2 \alpha}-\dfrac{1+\cos\alpha}{1-\cos^2\alpha}\right)=\\ \\ =\sin\alpha\times \dfrac{1-\cos\alpha-1-\cos\alpha}{\sin^2\alpha}=\dfrac{-2\cos\alpha}{\sin\alpha}=-2{\rm ctg}\alpha$

Answer 2

Для упрощения данного выражения, давайте сначала объединим слагаемые с одинаковыми знаменателями. Заметим, что у нас есть два слагаемых, у которых знаменатель равен $1 - \cos a$. Мы можем объединить их, используя общий знаменатель:

$\frac{\sin a}{1 + \cos a} + \frac{\sin a}{1 - \cos a}$

Теперь, чтобы объединить их в одну дробь, нам нужно найти общий знаменатель. Общим знаменателем будет произведение двух знаменателей, т.е. $(1 + \cos a)(1 - \cos a)$:

$\frac{\sin a(1 - \cos a)}{(1 + \cos a)(1 - \cos a)} + \frac{\sin a(1 + \cos a)}{(1 + \cos a)(1 - \cos a)}$

Теперь сложим числители:

$\frac{\sin a(1 - \cos a) + \sin a(1 + \cos a)}{(1 + \cos a)(1 - \cos a)}$

Упростим числитель:

$\frac{\sin a - \sin a \cos a + \sin a + \sin a \cos a}{(1 + \cos a)(1 - \cos a)}$

Заметим, что два члена в числителе взаимно уничтожаются:

$\frac{2\sin a}{(1 + \cos a)(1 - \cos a)}$

Теперь, если мы используем тригонометрическое тождество $\sin 2a = 2\sin a \cos a$, мы можем записать:

$\frac{2\sin a}{(1 + \cos a)(1 - \cos a)} = \frac{2\sin a}{1 - \cos^2 a} = \frac{2\sin a}{\sin^2 a} = \frac{2}{\sin a}$

Таким образом, упрощенное выражение равно $\frac{2}{\sin a}$.