Question

Квадрат разрезан на прямоугольники так, что никакая точка квадрата не является вершиной сразу четырех прямоугольников. Доказать, что число точек квадрата, являющихся вершинами прямоугольников, четно.

Answer 1

Пусть всего прямоугольников n, а число вершин (не совпадающих с вершинами квадрата – k. Тогда число углов прямоугольников равно 4n = 2k + 4 (т.к. в каждой вершине сходятся 2 угла. Поэтому k = 2n – 2.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения рассмотрим квадрат и предположим, что он разрезан на прямоугольники так, как указано в условии.

Пусть N будет общим числом прямоугольников, на которые разрезан квадрат. Посчитаем, сколько вершин прямоугольников участвуют в образовании этого разрезания.

Каждый прямоугольник имеет две вершины. Обозначим количество прямоугольников, у которых участвует каждая вершина, через A, B, C и D, где A - верхний левый угол, B - верхний правый угол, C - нижний левый угол и D - нижний правый угол квадрата.

Теперь обратим внимание на четыре угла квадрата (A, B, C и D). Каждый из этих углов является вершиной двух прямоугольников. Для угла A это два прямоугольника, у которых он является верхним левым углом, для угла B - два прямоугольника с верхним правым углом, для угла C - два прямоугольника с нижним левым углом и для угла D - два прямоугольника с нижним правым углом.

Таким образом, общее количество вершин прямоугольников, участвующих в разрезании, равно 4 * 2 = 8.

Но мы посчитали каждую вершину дважды, так как каждая вершина участвует в образовании двух прямоугольников. Чтобы получить общее число уникальных вершин, участвующих в разрезании, нужно разделить это число пополам:

8 / 2 = 4.

Таким образом, мы пришли к выводу, что число точек квадрата, являющихся вершинами прямоугольников, равно четному числу (4), что и требовалось доказать.