Question

В треугольнике ABC на сторонах AB и BC, соответственно, выбраны точки M и N так, что AM=2MB и BN=NC. Отрезки AN и CM пересекаются в точке P. Найдите площадь четырёхугольника MBNP, если известно, что площадь треугольника ABC составляет 30.

Answer 1

9

1111111111111111111111111111111111111111111111111

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте введем несколько обозначений:

Пусть S - площадь треугольника MBP, а x - площадь четырехугольника MBNP.

Из условия задачи, площадь треугольника ABC равна 30, и мы знаем, что:

S + x = 30

Теперь рассмотрим соотношения площадей треугольников AMN и ABC:

Так как AM = 2MB, а BN = NC, можно заметить, что треугольники AMN и ABC имеют одинаковую высоту из вершины A и лежат на одной и той же базе AN. Следовательно, их площади связаны простым соотношением:

Площадь AMN = (AM / AB) * Площадь ABC

Площадь AMN = (2/3) * 30 = 20

Теперь рассмотрим соотношения площадей треугольников CNM и ABC:

Аналогично, так как BN = NC, треугольники CNM и ABC имеют одинаковую высоту из вершины C и лежат на одной и той же базе CM:

Площадь CNM = (NC / CB) * Площадь ABC

Площадь CNM = (1/3) * 30 = 10

Теперь, зная площади треугольников AMN и CNM, мы можем выразить площадь треугольника ABC через сумму площадей AMN и CNM:

Площадь ABC = Площадь AMN + Площадь CNM + S

30 = 20 + 10 + S

S = 30 - 20 - 10

S = 0

Таким образом, мы нашли, что площадь треугольника MBP (S) равна 0. Теперь мы можем найти площадь четырехугольника MBNP (x):

x = Площадь ABC - Площадь MBP

x = 30 - 0

x = 30

Итак, площадь четырехугольника MBNP равна 30.