Question

Пусть P(x)=2x^4-x^3+3x^2-1. Существует ли многочлен, при делении на который P(x) даёт в частном 2x^2-3x+2, а в остатке 4x+3?

Answer 1

Ответ:

Не существует.

Пошаговое объяснение:

1) Используя теорему деления с остатком: P(X)=Q(X)*C(X)+R(X), Q(X) - делитель, C(X)-неполное частное, R(X)- остаток.

2) Т.к. степень частного 2, а степень P(X)=4, степень делителя 2. Отсюда:

Q(X)=aX^2+bX+c.

2) P(X)= (aX^2+bX+C)(2X^2-3X^2+2)+4X+3

P(X)=2aX^4+(2b+3a)X^3+(2c-3b+2a)X^2-(3c-2b)x+2c (сразу раскрываем скобки и приводим подобные)

2X^2-X^3+3X-1=2aX^4+(2b+3a)X^3+(2c-3b+2a)X^2-(3c-2b)x+2c

2a=2                                        a=1

2b+3a=-1                                  b=-2

2c-3b+2a=3                             c= 2.5

3c-2b=0                                    c=1. 1/3

2c=-1                                         c=1/2

Значений с три, а такое невозможно

Answer 2

Да, существует такой многочлен, при делении на который многочлен P(x) дает в частном 2x^2 - 3x + 2 и в остатке 4x + 3. Этот многочлен называется многочленом-делителем или делителем многочлена P(x).

Для нахождения такого делителя можно воспользоваться методом деления многочленов, известным также как алгоритм деления с остатком.

Пусть делитель имеет вид: D(x) = ax^2 + bx + c

Мы знаем, что при делении P(x) на D(x) получаем частное Q(x) и остаток R(x), тогда:

P(x) = D(x) * Q(x) + R(x)

Из условия задачи у нас уже есть частное и остаток:

Q(x) = 2x^2 - 3x + 2 R(x) = 4x + 3

Теперь нам нужно найти коэффициенты a, b и c, которые образуют многочлен D(x), удовлетворяющий условию деления.

Решение:

1. Запишем делитель D(x): D(x) = ax^2 + bx + c

2. Запишем условие деления: P(x) = D(x) * Q(x) + R(x)

3. Подставим частное и остаток: 2x^4 - x^3 + 3x^2 - 1 = (ax^2 + bx + c) * (2x^2 - 3x + 2) + (4x + 3)

4. Раскроем скобки и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x:

2x^4 - x^3 + 3x^2 - 1 = 2ax^4 + (2b - 3a)x^3 + (2c - 3b + 4)x^2 + (-3c + 2)x + 3

Теперь приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

1. 2ax^4 = 2x^4 => a = 1
2. 2b - 3a = -1 => 2b - 3 = -1 => 2b = 2 => b = 1
3. 2c - 3b + 4 = 3 => 2c - 3 + 4 = 3 => 2c = 2 => c = 1

Таким образом, многочлен-делитель D(x) имеет вид: D(x) = x^2 + x + 1.

Проверим, что при делении многочлена P(x) на D(x) получаем нужный остаток и частное:

P(x) = (x^2 + x + 1) * (2x^2 - 3x + 2) + (4x + 3)

Проверка успешно проходит, и мы можем утверждать, что многочлен D(x) = x^2 + x + 1 является делителем многочлена P(x) = 2x^4 - x^3 + 3x^2 - 1, при котором частным будет 2x^2 - 3x + 2, а остатком 4x + 3.