Question

Решить уравнение y'=x-1/y^2

Answer 1

Ответ:

y = ∛(1,5x² - 3x + 3C)

Пошаговое объяснение:

dy/dx = (x-1)/y²

y²dy = (x-1)dx

y³/3 = x²/2 - x + C

y³ = 1,5x² - 3x + 3C

y = ∛(1,5x² - 3x + 3C)

Answer 2

Дано уравнение:

y' = x - 1/y^2

Для решения данного уравнения нужно найти функцию y(x), которая удовлетворяет уравнению. Для этого воспользуемся методом разделения переменных.

1. Разделим уравнение на y^2:

y'^2 = (x - 1/y^2)^2

2. Перенесем y'^2 на другую сторону уравнения:

y'^2 - (x - 1/y^2)^2 = 0

3. Применим формулу разности квадратов:

(y' - (x - 1/y^2))(y' + (x - 1/y^2)) = 0

Таким образом, у нас получилось два уравнения:

a) y' - (x - 1/y^2) = 0

б) y' + (x - 1/y^2) = 0

Давайте решим эти уравнения по отдельности.

а) y' - (x - 1/y^2) = 0

Перенесем (x - 1/y^2) на другую сторону:

y' = x - 1/y^2

Теперь это уравнение можно решить методом разделения переменных:

dy = (x - 1/y^2)dx

y^2dy = (x*y^2 - 1)dx

Интегрируем обе стороны:

∫y^2dy = ∫(x*y^2 - 1)dx

(1/3)y^3 = (1/2)x*y^2 - x + C₁

Теперь решим второе уравнение:

б) y' + (x - 1/y^2) = 0

Перенесем (x - 1/y^2) на другую сторону:

y' = - (x - 1/y^2)

Также, это уравнение можно решить методом разделения переменных:

dy = - (x - 1/y^2)dx

y^2dy = - (x*y^2 - 1)dx

Интегрируем обе стороны:

∫y^2dy = - ∫(x*y^2 - 1)dx

(1/3)y^3 = - (1/2)x*y^2 + x + C₂

где C₁ и C₂ - произвольные константы интегрирования.

Теперь у нас есть два выражения для функции y(x):

(1/3)y^3 = (1/2)x*y^2 - x + C₁

и

(1/3)y^3 = - (1/2)x*y^2 + x + C₂

Объединим эти два уравнения:

(1/3)y^3 = (1/2)xy^2 - x + C₁ = - (1/2)xy^2 + x + C₂

(1/3)y^3 - (1/2)x*y^2 + x = C₁ = C₂

Получили общее уравнение, которое связывает x и y. В итоге решение данного дифференциального уравнения будет записано в виде неявной функции.