Question

Помогите найти предел функции при х стремящемуся к нулю: (x-sinx)/(x+sinx), используя первый замечательный предел

Answer 1

s=(x-sinx)/(x+sinx) = 1/(1+sinx/x) - 1/(x/sinx+1)  используя первый замечательный предел s=1/(1+1)-1/(1+1) = 0

Answer 2

Для нахождения предела функции $\frac{x - \sin x}{x + \sin x}$ при $x$ стремящемся к нулю, воспользуемся первым замечательным пределом:

$\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x} = 1$

Первым шагом преобразуем исходную функцию, чтобы применить этот предел:

$\lim_{{x \to 0}} \frac{x - \sin x}{x + \sin x} = \lim_{{x \to 0}} \frac{x(1 - \frac{\sin x}{x})}{x(1 + \frac{\sin x}{x})}$

Теперь, если применить первый замечательный предел $\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x} = 1$, получим:

$\lim_{{x \to 0}} \frac{x(1 - \frac{\sin x}{x})}{x(1 + \frac{\sin x}{x})} = \lim_{{x \to 0}} \frac{x(1 - 1)}{x(1 + 1)} = \lim_{{x \to 0}} \frac{0}{2} = 0$

Таким образом, предел функции при $x$ стремящемся к нулю равен $0$.