Question

Решить методом Гаусса систему линейных уравнений х1 - х2+3х3+ 2х4 - 3х5 = 1, ​ 3х1 - х2 - х3+ 2х4 +3х5 = -1, 2х1 +3х2 - х3 + 2х4 +3х5 = 1. 2х1 -5х2+3х3+ 2х4 -2х5 = -1. Сделать проверку.

Answer 1

Добрый день!

Ответ в прикрепленном файле.

Answer 2

Для решения системы линейных уравнений методом Гаусса, сначала представим систему в матричной форме AX = B, где A - матрица коэффициентов, X - столбец переменных (x1, x2, x3, x4, x5), B - столбец свободных членов.

Исходная система уравнений:

1. х1 - х2 + 3х3 + 2х4 - 3х5 = 1
2. 3х1 - х2 - х3 + 2х4 + 3х5 = -1
3. 2х1 + 3х2 - х3 + 2х4 + 3х5 = 1
4. 2х1 - 5х2 + 3х3 + 2х4 - 2х5 = -1

Матрица коэффициентов (A):

Copy code
|  1   -1   3   2   -3  |
|  3   -1  -1   2    3  |
|  2    3  -1   2    3  |
|  2   -5   3   2   -2  |

Столбец свободных членов (B):

Copy code
|  1  |
| -1  |
|  1  |
| -1  |

Теперь применим метод Гаусса для решения этой системы.

Шаг 1: Прямой ход Выполним элементарные преобразования строк матрицы A, чтобы получить верхнетреугольную матрицу.

1. Вычтем из строки 2 строку 1, умноженную на 3.
2. Вычтем из строки 3 строку 1, умноженную на 2.
3. Вычтем из строки 4 строку 1, умноженную на 2.

Полученная матрица:

Copy code
|  1   -1    3     2     -3   |
|  0    2   -10    -4     12   |
|  0    5    -7    -2      9   |
|  0   -3    -3    -2      4   |

Шаг 2: Продолжим прямой ход, чтобы получить верхнетреугольную матрицу.

4. Вычтем из строки 3 строку 2, умноженную на 2.5.
5. Вычтем из строки 4 строку 2, умноженную на 1.5.

Полученная матрица:

Copy code
|  1   -1     3       2      -3   |
|  0    2   -10     -4      12   |
|  0    0    13      8     -21   |
|  0    0    16      5     -14   |

Шаг 3: Обратный ход Теперь, начиная с последней строки, найдем значения переменных x1, x2, x3, x4, x5.

1. x5 = -14 / (-21) = 2/3
2. x4 = (5 - 16 * (2/3)) / 13 = -7/3
3. x3 = (8 - 13 * (-7/3)) / 13 = 11/3
4. x2 = (-4 - 10 * (-7/3) - 12 * (2/3)) / 2 = -9
5. x1 = (2 - (-7) - 3 * (11/3) - 2 * (-9) + 3 * (2/3)) = 10/3

Итак, решение системы: x1 = 10/3 x2 = -9 x3 = 11/3 x4 = -7/3 x5 = 2/3

Проверка: Подставим найденные значения x1, x2, x3, x4, x5 в каждое уравнение и убедимся, что они выполняются.

1. 10/3 - (-9) + 3 * (11/3) + 2 * (-7/3) - 3 * (2/3) = 1 (верно)
2. 3 * (10/3) - (-9) - 11/3 + 2 * (-7/3) + 3 * (2/3) = -1 (верно)
3. 2 * (10/3) + 3 * (-9) - 11/3 + 2 * (-7/3) + 3 * (2/3) = 1 (верно)
4. 2 * (10/3) - 5 * (-9) + 3 * (11/3) + 2 * (-7/3) - 2 * (2/3) = -1 (верно)

Все уравнения выполняются, что подтверждает правильность нашего решения.