Question

Решить систему линейных уравнений методом Крамера 1) 2х1+ 3х2 - х3 = -6 3х1 +4х2 + 3х3 = -5 х1 + х2 + х3 = -2 2) х1+2х2 -х3 = 7 2х1=3х2 +х3 = 3 4х1 + х2 - х3 = 16

Answer 1

1) 1) Находим определитель матрицы.

∆ =  

2      3      -1  

3      4      3  

1       1       1  

= 2•4•1 + 3•3•1 + (-1)•3•1 - (-1)•4•1 - 2•3•1 - 3•3•1 = 8 + 9 - 3 + 4 - 6 - 9 = 3 .

Заменяем 1-й столбец на вектор результатов B:  

∆1 =  

-6     3     -1  

-5     4     3  

-2     1      1  

= (-6)•4•1 + 3•3•(-2) + (-1)•(-5)•1 - (-1)•4•(-2) - (-6)•3•1 - 3•(-5)•  

•1 = -24 - 18 + 5 - 8 + 18 + 15 = -12  

Заменяем 2-й столбец на вектор результатов B:  

∆2 =  

2      -6      -1  

3     -5      3  

1      -2       1  

= 2•(-5)•1 + (-6)•3•1 + (-1)•3•(-2) - (-1)•(-5)•1 - 2•3•(-2) - (-6)•3•  

•1 = -10 - 18 + 6 - 5 + 12 + 18 = 3 .

Заменяем 3-й столбец на вектор результатов B:  

∆3 =  

2      3       -6  

3      4       -5  

1       1       -2  

= 2•4•(-2) + 3•(-5)•1 + (-6)•3•1 - (-6)•4•1 - 2•(-5)•1 - 3•3•(-2) =  

= -16 - 15 - 18 + 24 + 10 + 18 = 3.  

x1 = ∆1/ ∆ = -12 /3 = -4.  

x2 = ∆2/ ∆ = 3 /3 = 1 .

x3 = ∆3/ ∆ = 3 /3 = 1.

2) Находим определитель матрицы:

∆ =  

1       2     -1

2      -3     1

4       2     1

 = 1·(-3)·(-1) + 2·1·4 + (-1)·2·2 - (-1)·(-3)·4 - 1·1·2 - 2·2·(-1) =  

 = 3 + 8 - 4 - 12 - 2 + 4 = -3 .

Заменяем 1-й столбец на вектор результатов B:

∆1 =  

7       2   -1

3      -3   1

16       2   -1

 = 7·(-3)·(-1) + 2·1·16 + (-1)·3·2 - (-1)·(-3)·16 - 7·1·2 - 2·3·(-1) =  

 = 21 + 32 - 6 - 48 - 14 + 6 = -9 .

Заменяем 2-й столбец на вектор результатов B:

∆2 =  

1       7   -1

2       3    1

4      16  -1

 = 1·3·(-1) + 7·1·4 + (-1)·2·16 - (-1)·3·4 - 1·1·16 - 7·2·(-1) = -3 +  

 + 28 - 32 + 12 - 16 + 14 = 3 .

Заменяем 3-й столбец на вектор результатов B:

∆3 =  

1       2    7

2       -3    3

4       2   16

 = 1·(-3)·16 + 2·3·4 + 7·2·2 - 7·(-3)·4 - 1·3·2 - 2·2·16 = -48 +  

 + 24 + 28 + 84 - 6 - 64 = 18

x1 =   ∆1 /∆  =   -9/-3  = 3 .

x2 =   ∆2/ ∆  =   3 /-3  = -1 .

x3 =   ∆3/ ∆  =   18/ -3  = -6.

Answer 2

Для решения системы линейных уравнений методом Крамера, нам нужно вычислить значения всех переменных поочередно. Сначала найдем определитель матрицы коэффициентов системы, затем определители матриц, полученных заменой столбцов на столбец свободных членов. В конечном итоге, значения переменных будут равны отношению определителей матриц.

Система уравнений 1:

Copy code
2x1 + 3x2 - x3 = -6
3x1 + 4x2 + 3x3 = -5
x1 + x2 + x3 = -2

Система уравнений 2:

Copy code
x1 + 2x2 - x3 = 7
2x1 = 3x2 + x3 = 3
4x1 + x2 - x3 = 16

Начнем с системы уравнений 1:

1. Вычислим определитель основной матрицы (D):

   makefileCopy code
   D = | 2  3 -1 |
       | 3  4  3 |
       | 1  1  1 |
   

   D = 2*4*1 + 3*1*(-1) + (-1)*3*1 = 8 + 3 - 3 = 8.

2. Заменим первый столбец (коэффициенты x1) на столбец свободных членов и вычислим определитель (Dx1):

   makefileCopy code
   Dx1 = | -6  3 -1 |
         | -5  4  3 |
         | -2  1  1 |
   

   Dx1 = -6*4*1 + 3*1*(-2) + (-1)*(-5)*1 = -24 - 6 + 5 = -25.

3. Заменим второй столбец (коэффициенты x2) на столбец свободных членов и вычислим определитель (Dx2):

   makefileCopy code
   Dx2 = | 2  -6 -1 |
         | 3  -5  3 |
         | 1  -2  1 |
   

   Dx2 = 2*(-5)*1 + (-6)*1*1 + (-1)*3*(-2) = -10 - 6 + 6 = -10.

4. Заменим третий столбец (коэффициенты x3) на столбец свободных членов и вычислим определитель (Dx3):

   makefileCopy code
   Dx3 = | 2  3 -6 |
         | 3  4 -5 |
         | 1  1 -2 |
   

   Dx3 = 2*4*(-2) + 3*1*(-6) + (-6)*3*1 = -16 - 18 - 18 = -52.

Теперь можем найти значения переменных:

makefileCopy code
x1 = Dx1 / D = -25 / 8
x2 = Dx2 / D = -10 / 8
x3 = Dx3 / D = -52 / 8

Таким образом, для первой системы уравнений получаем:

makefileCopy code
x1 = -25/8
x2 = -5/4
x3 = -13/4

Теперь рассмотрим систему уравнений 2:

1. Вычислим определитель основной матрицы (D):

   makefileCopy code
   D = | 1  2 -1 |
       | 2  3  1 |
       | 4  1 -1 |
   

   D = 1*3*(-1) + 2*1*4 + (-1)*2*1 = -3 + 8 - 2 = 3.

2. Заменим первый столбец (коэффициенты x1) на столбец свободных членов и вычислим определитель (Dx1):

   makefileCopy code
   Dx1 = | 7  2 -1 |
         | 3  3  1 |
         | 16 1 -1 |
   

   Dx1 = 7*3*(-1) + 2*1*16 + (-1)*3*1 = -21 + 32 - 3 = 8.

3. Заменим второй столбец (коэффициенты x2) на столбец свободных членов и вычислим определитель (Dx2):

   makefileCopy code
   Dx2 = | 1  7 -1 |
         | 2  3  1 |
         | 4  16 -1 |
   

   Dx2 = 1*3*(-1) + 7*1*4 + (-1)*2*16 = -3 + 28 - 32 = -7.

4. Заменим третий столбец (коэффициенты x3) на столбец свободных членов и вычислим определитель (Dx3):

   makefileCopy code
   Dx3 = | 1  2  7 |
         | 2  3  3 |
         | 4  1  16 |
   

   Dx3 = 1*3*16 + 2*7*4 + 7*2*1 = 48 + 56 + 14 = 118.

Теперь можем найти значения переменных:

makefileCopy code
x1 = Dx1 / D = 8 / 3
x2 = Dx2 / D = -7 / 3
x3 = Dx3 / D = 118 / 3

Итак, для второй системы уравнений получаем:

makefileCopy code
x1 = 8/3
x2 = -7/3
x3 = 118/3

Надеюсь, что данное решение помогло вам разобраться в методе Крамера и получить результаты для данных систем уравнений.