Question

Решить систему уравнений, исследовав на совместность по теореме Кронекера-Капелли:А) 5х1+2х2+3х3=0 Б) 2х1-4х2+5х3=0 2х1-2х2+5х3=0 х1-3х2+3х3=0 3х1+4х2+2х3=0 3х1-5х2+9х3=0

Answer 1

Однородная система линейных уравнений всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если ранг матрицы меньше количества переменных.

а) $\left[\begin{array}{ccc}5&2&3\\2&-2&5\\3&4&2\end{array}\right] => \left[\begin{array}{ccc}10&4&6\\2&-2&5\\6&8&4\end{array}\right] => \left[\begin{array}{ccc}0&14&-19\\2&-2&5\\0&14&-11\end{array}\right] => \left[\begin{array}{ccc}2&-2&5\\0&14&-11\\0&0&-8\end{array}\right]$
1: 1ю строку *2
    3ю строку *2
2: из первой строки вычитаем вторую строку, умноженную на 5
    из третьей строки вычитаем вторую строку, умноженную на 3
3: из первой строки вычитаем третью строку и располагаем строки в порядке убывания
приведя матрицу к ступенчатому виду, видим, что её ранг равен трём и равен количеству переменных => СЛУ имеет только одно тривиальное (все переменные равны 0) решение


б) $\left[\begin{array}{ccc}2&-4&5\\1&-3&3\\3&-5&9\end{array}\right] => \left[\begin{array}{ccc}0&-2&1\\1&-3&3\\0&4&0\end{array}\right] => \left[\begin{array}{ccc}1&-3&3\\0&4&0\\0&4&2\end{array}\right] => \left[\begin{array}{ccc}1&-3&3\\0&4&0\\0&0&2\end{array}\right]$

1: из первой строки вычитаем удвоенную вторую строку
   из третьей строки вычитаем утроенную вторую строку
2: умножаем первую строку на -2
   меняем местами первую и вторую строку
3: вычитаем из третьей строки вторую строку и меняем их местами, таким образом приводя матрицу к ступенчатому виду
видим, что ранг матрицы равен 3 и равен количеству переменных => СЛУ имеет только одно тривиальное решение

Answer 2

Дана система уравнений:

A) 5x1 + 2x2 + 3x3 = 0 B) 2x1 - 4x2 + 5x3 = 0 2x1 - 2x2 + 5x3 = 0 x1 - 3x2 + 3x3 = 0 3x1 + 4x2 + 2x3 = 0 3x1 - 5x2 + 9x3 = 0

Чтобы исследовать систему на совместность, воспользуемся теоремой Кронекера-Капелли. Сначала составим матрицу коэффициентов системы:

A = [[5, 2, 3], [2, -4, 5], [2, -2, 5], [1, -3, 3], [3, 4, 2], [3, -5, 9]]

Затем составим расширенную матрицу системы, добавив столбец свободных членов:

A' = [[5, 2, 3, 0], [2, -4, 5, 0], [2, -2, 5, 0], [1, -3, 3, 0], [3, 4, 2, 0], [3, -5, 9, 0]]

Теперь проверим ранг матрицы коэффициентов и ранг расширенной матрицы. Если ранги совпадают и равны числу неизвестных (в данном случае 3), то система совместна.

Ранг матрицы коэффициентов:

rank(A) = 3

Ранг расширенной матрицы:

rank(A') = 3

Таким образом, ранги совпадают и равны числу неизвестных, следовательно, система уравнений совместна.

Ответ: Система уравнений совместна.