Question

Решить дифференциальное ур-ние с разд.переменными y"-2y'=x^2+8

Answer 1

Посмотрите предложенное решение.

Основные шаги отмечены чёрным кружком: 1. так как отсутствует "у" в явном виде, то возможна замена; 2. решение неоднородного линейного ДУ; 3. обратная замена; 4. обратная замена (переход к переменной "у").

В квадратных скобках показана замена.

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения с разделяющимися переменными (separable differential equation), следует выполнить следующие шаги:

1. Перепишем уравнение в стандартной форме: y" - 2y' = x^2 + 8

2. Введем замену переменных: Пусть z = y' Тогда y" = d/dx (y') = d/dx (z) = z'

3. Теперь заменим y'' и y' в исходном уравнении: z' - 2z = x^2 + 8

4. Решим полученное уравнение с разделяющимися переменными: Разделим обе части уравнения на z - 2: z' = (x^2 + 8) + 2z

5. Теперь разделим уравнение на (x^2 + 2z + 8): (1/(x^2 + 2z + 8)) * z' = 1

6. Проинтегрируем обе стороны уравнения по x: ∫(1/(x^2 + 2z + 8)) dz = ∫dx

   Левую часть интеграла можно проинтегрировать с помощью частных интегралов, а правую часть просто проинтегрируем: ∫(1/(x^2 + 2z + 8)) dz = arctan((z + x^2/4)/√2) + C1, где С1 - постоянная интегрирования.

   ∫dx = x + C2, где С2 - другая постоянная интегрирования.

7. Теперь получаем уравнение: arctan((z + x^2/4)/√2) + C1 = x + C2

8. Разрешим уравнение относительно z: z = √2 * tan(x + C2 - C1) - x^2/4

9. Найдем y, интегрировав z по x: y = ∫z dx = ∫(√2 * tan(x + C2 - C1) - x^2/4) dx

   y = √2 * ∫tan(x + C2 - C1) dx - ∫(x^2/4) dx

   y = -√2 * ln|cos(x + C2 - C1)| - x^3/12 + C3, где C3 - постоянная интегрирования.

Таким образом, решением дифференциального уравнения y" - 2y' = x^2 + 8 является функция:

y(x) = -√2 * ln|cos(x + C2 - C1)| - x^3/12 + C3, где C1, C2, и C3 - произвольные постоянные.