Question

На столе лежат 2005 монет. Двое играют в следующую игру: ходят по очереди; за ход первый может взять со стола любое нечетное число монет от 1 до 99, второй - любое четное число от 2 до 100. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

Answer 1

Ответ:

Первый выиграет

Пошаговое объяснение:

Опишем стратегию первого игрока.

Первым ходом он должен взять со стола 85 монет.

Каждым следующим, если второй игрок берет х монет, то первый игрок должен взять 101 х монет (он всегда может это сделать, потому что если х четное число от 2 до 100, то (101 х ) нечетное число от 1 до 99).

Так как 2005=101 19 + 85 + 1, то через 19 таких ответов после хода первого на столе останется 1 монета, и второй не сможет сделать ход, т. е. проиграет.

Answer 2

Давайте рассмотрим данную игру и определим стратегию для каждого игрока.

1. Первый ход: Первый игрок может взять от 1 до 99 монет. Очевидно, что он должен взять нечетное количество монет (например, 1 монету), чтобы оставить на столе только четное количество монет для второго игрока.

2. Второй ход: Теперь на столе лежит четное количество монет (2004), и второй игрок может взять от 2 до 100 монет. Чтобы держаться в игре и оставить первому игроку нечетное количество монет на следующем ходу, второй игрок должен взять четное количество монет. Возьмем, например, 100 монет.

3. Третий ход: На столе осталось 1904 монеты (2005 - 1 - 100). Теперь первый игрок может взять любое нечетное количество монет от 1 до 99, чтобы снова оставить на столе четное количество монет.

4. Четвертый ход: На столе осталось 1804 монеты. Второй игрок должен снова взять четное количество монет, чтобы держаться в игре.

Эта стратегия будет повторяться на каждом ходу, и каждый игрок будет следовать своей оптимальной стратегии, оставляя на столе всегда четное количество монет после своего хода.

Таким образом, первый игрок всегда будет брать одну монету на первом ходу, а затем следовать стратегии, чтобы всегда оставлять на столе четное количество монет после своего хода. Второй игрок будет всегда брать 100 монет на своем ходу, а затем также следовать стратегии, чтобы оставить на столе четное количество монет.

В итоге, первый игрок всегда будет оставлять на столе четное количество монет, и второй игрок сможет держаться в игре, всегда оставляя на столе четное количество монет после своего хода. Таким образом, ни один из игроков не проиграет, и игра будет продолжаться вечно без победителя.