Question

100 БАЛЛОВ Натуральные числа a,b,c,d удовлетворяют равенству ab=cd. Докажите что число a^2+b^2+c^2 +d^2 составное

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим различные случаи значений чисел a, b, c и d:

1. Если a, b, c и d имеют общие множители, то можно записать их в виде: a = p * x, b = q * x, c = r * x, d = s * x, где p, q, r и s - простые числа, а x - общий множитель.

   Тогда a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = (p * x)^2 + (q * x)^2 + (r * x)^2 + (s * x)^2 = x^2 * (p^2 + q^2 + r^2 + s^2).

   Видно, что число a^2 + b^2 + c^2 + d^2 является произведением числа x^2 и суммы квадратов простых чисел p^2, q^2, r^2 и s^2. Так как сумма квадратов простых чисел всегда больше единицы (так как каждое простое число больше 1, а его квадрат будет больше 1), то a^2 + b^2 + c^2 + d^2 составное число.

2. Если числа a, b, c и d не имеют общих множителей, то они будут взаимно простыми. Таким образом, никакие два из них не могут иметь общий делитель больше 1.

   Рассмотрим теперь a^2 + b^2 + c^2 + d^2: a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = ab + cd (так как ab = cd, по условию) = (a + c)(b + d).

   Здесь мы использовали формулу суммы квадратов двух чисел. Так как a, b, c и d не имеют общих делителей больше 1, то числа (a + c) и (b + d) тоже взаимно просты. Итак, мы получили, что a^2 + b^2 + c^2 + d^2 является произведением двух взаимно простых чисел и, следовательно, является составным числом.

Таким образом, в обоих случаях число a^2 + b^2 + c^2 + d^2 является составным числом.