Question

Найдите наименьшее число такое что при делении на 2018 был остаток 2017, при делении на 2019 был остаток 2018 и при делении на 2020 был остаток 1.

Answer 1

Ответ: 4074341

Пошаговое объяснение:

Пусть искомое число а.

Тогда его можно представить как

а/2018=b+2017/2018 или

a/2019=c+2018/2019 или

a/2020=d+1/2020 где b, c и d - целые числа.

Отсюда

a=2018b+2017 или

a=2019c+2018 или

a=2020d+1

Отсюда

2018b+2017=2019c+2018 =>

2018b=2019c+1 => b=(2019c+1)/2018

Видим, что для того чтобы b было целым, с должно быть как минимум 2017.

Отсюда

a=2019×2017+2018=4074341

Answer 2

Ответ:

4 074 341

Пошаговое объяснение:

х- неизвестное число

х:2018 остаток 2017--------значит-------х=а*2018+2017

х:2019 остаток 2018--------значит-------х =в*2019+2018

х:2020 остаток 1-------------значит-------х=с*2020+1

Найдем НОК чисел 2018 и 2019

2018=2*1009 - разложили на простые числа

2019=3*673

НОК(2018;2019)=2*1009*3*673=4 074 342

т.к. в остатках получается 2017 (меньше 2018 на 1) и 2018 (меньше 2019 на 1), тогда

Х = НОК(2018;2019)-1 = 4 074 342 -1 = 4 074 341

Проверка

Решим уравнения

х=а*2018+2017

4 074 341 = а*2018+2017

4 074 341-2017=а*2018

4 072 324/2018 =а

а=2018 - верно----------------------4 074 341=2018*2018+2017

х=в*2019+2018

4 074 341=в*2019+2018

4 074 341-2018=в*2019

4 072 323/2019=в

в=2017 верно-----------------------4 074 341=2017*2019+2018

х=с*2020+1

4 074 341 = с*2020+1

4 074 341-1 =с*2020

4 074 340/2020=с

с=2017 -верно---------------------4 074 341=2017*2020+1

Answer 3

Для решения этой задачи, можно воспользоваться китайской теоремой об остатках. Для начала, найдем общее решение системы уравнений:

x ≡ 2017 (mod 2018) x ≡ 2018 (mod 2019) x ≡ 1 (mod 2020)

Обратите внимание, что числа 2018, 2019 и 2020 являются взаимно простыми, поскольку их наибольший общий делитель равен 1.

Теперь найдем обратные модули для каждого уравнения:

Для первого уравнения: 2018^-1 ≡ 1009 (mod 2017)

Для второго уравнения: 2019^-1 ≡ 381 (mod 2018)

Для третьего уравнения: 2020^-1 ≡ 505 (mod 2019)

Теперь мы можем вычислить x, используя китайскую теорему об остатках:

x = (2017 * 1009 * 2018 + 2018 * 381 * 2019 + 1 * 505 * 2020) mod (2018 * 2019 * 2020)

x = (4077861774 + 15500445554 + 1020100) mod 8200316920

x = 1967

Таким образом, наименьшее число, которое удовлетворяет заданным условиям, равно 1967.