Question

Вычислите cos п/17 × cos 2п/17 × cos 4п/17× cos 8п/17

Answer 1

sin 2x = 2 sin x * cos x

sin (π - x) = sin x

cos п/17 × cos 2п/17 × cos 4п/17× cos 8п/17 =  sin п/17 × cos п/17 × cos 2п/17 × cos 4п/17× cos 8п/17  : sin п/17 =  1/2 × sin 2п/17  × cos 2п/17 × cos 4п/17× cos 8п/17  : sin п/17 = 1/4 × sin 4п/17   × cos 4п/17× cos 8п/17  : sin п/17 =  1/8 × sin 8п/17  × cos 8п/17  : sin п/17 =  1/16 × sin16п/17 : sin п/17 = 1/16 × sin п/17 : sin п/ 17 = 1/16

sin 16п/17 = sin (п - п/17) = sin п/17

Answer 2

Для вычисления данного выражения, можно использовать формулу произведения тригонометрических функций:

cos(A) * cos(B) = 1/2 * [cos(A - B) + cos(A + B)]

Используем эту формулу поочередно для каждой пары множителей:

1. cos(π/17) * cos(2π/17) = 1/2 * [cos(2π/17 - π/17) + cos(2π/17 + π/17)] = 1/2 * [cos(π/17) + cos(3π/17)]
2. cos(4π/17) * cos(8π/17) = 1/2 * [cos(8π/17 - 4π/17) + cos(8π/17 + 4π/17)] = 1/2 * [cos(4π/17) + cos(12π/17)]

Теперь у нас остались два выражения:

cos(π/17) * cos(2π/17) * cos(4π/17) * cos(8π/17) = 1/2 * [cos(π/17) + cos(3π/17)] * 1/2 * [cos(4π/17) + cos(12π/17)]

Умножим эти два выражения:

cos(π/17) * cos(2π/17) * cos(4π/17) * cos(8π/17) = 1/4 * [cos(π/17) + cos(3π/17)] * [cos(4π/17) + cos(12π/17)]

Теперь остается вычислить значения косинусов и сложить:

cos(π/17) ≈ 0.9511 cos(3π/17) ≈ 0.5878 cos(4π/17) ≈ 0.9511 cos(12π/17) ≈ -0.5878

Подставляем значения:

cos(π/17) * cos(2π/17) * cos(4π/17) * cos(8π/17) ≈ 1/4 * (0.9511 + 0.5878) * (0.9511 - 0.5878) ≈ 1/4 * (1.5389) * (0.3633) ≈ 0.1390

Таким образом, результат выражения равен приблизительно 0.1390.