Question

Числа p и q подобраны так, что парабола y=qx−x2 пересекает гиперболу xy=p в трёх различных точках A,B и C, причём сумма квадратов сторон треугольника ABC равна 378, а точка пересечения его медиан находится на расстоянии 3 от начала координат. Найдите произведение pq. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. Если возможных различных значений произведения pq окажется несколько, в ответе укажите их сумму.

Answer 1

Ответ:

pq = 54

Пошаговое объяснение:

Пусть точки пересечения имеют вид $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ и $(x_3,y_3)$. Выразим через координаты то, что дано в условии.

Сумма квадратов сторон:

$(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^3+(x_3-x_1)^2+\\+(y_3-y_1)^2=2(x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2+x_3^2+y_3^2)-2(x_1x_2+x_2x_3+\\+x_3x_1+y_1y_2+y_2y_3+y_3y_1)=2a-2b=378$

(a - сумма квадратов, b - сумма попарных произведений)

Расстояние от начала координат до точки пересечения медиан

Известно, что координаты точки пересечения медиан можно найти по формулам:

$x_0=\dfrac{x_1+x_2+x_3}3\\y_0=\dfrac{y_1+y_2+y_3}3$

Тогда квадрат расстояния от начала координат до точки пересечения медиан, для удобства умноженный на 9, выражается так:

$9(x_0^2+y_0^2)=(x_1+x_2+x_3)^2+(y_1+y_2+y_3)^2=a+2b=9\cdot3^2=81$

Получилась система линейных уравнений на a и b. Из неё 4b = 2 * 81 - 378 = -216, b = -54. Осталось выразить сумму попарных произведений, для этого понадобится немного преобразовать систему и вспомнить теорему Виета.

Умножаем уравнение параболы на x и заменяем xy на p, получается кубическое уравнение $x^3-qx^2+p=0$. Понятно, что найдя из этого уравнения x, потом по формуле y = p/x однозначно найдем y. Значит, $x_1$, $x_2$ и $x_3$ - корни кубического уравнения. По теореме Виета сумма их попарных произведений равна коэффициенту при x, он равен нулю.

Умножаем уравнение параболы на $y^2$, избавляемся от x и получаем $y^3-pqy+p^2=0$. Аналогично, нужна сумма попарных произведений, она равна -pq.

Приравниваем:

$-54=b=(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)+(y_1y_2+y_2y_3+y_3y_1)=0-pq\\pq=54$

Answer 2

Для начала, найдем точки пересечения параболы и гиперболы. Подставим уравнения параболы и гиперболы и приравняем их:

q * x - x^2 = p / y

Так как у нас интересуют только действительные точки пересечения, решим систему уравнений:

1. q * x - x^2 = p / y
2. xy = p

Решим второе уравнение относительно y:

y = p / x

Подставим выражение для y в первое уравнение:

q * x - x^2 = p / (p / x) qx - x^2 = x

Теперь получим квадратное уравнение:

x^2 - qx + x = 0

Сумма корней этого уравнения равна коэффициенту при x с обратным знаком:

x1 + x2 = q

Следовательно, точка пересечения медиан треугольника ABC имеет координаты (q/2, q/2).

Теперь найдем длины сторон треугольника ABC:

1. Сторона AB: AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
2. Сторона BC: BC = √((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2)
3. Сторона AC: AC = √((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2)

Согласно условию, сумма квадратов сторон треугольника ABC равна 378:

AB^2 + BC^2 + AC^2 = 378

Также, известно, что точка пересечения медиан находится на расстоянии 3 от начала координат:

(q/2)^2 + (q/2)^2 = 3^2

Упростим это уравнение:

q^2/2 = 9 q^2 = 18

Теперь найдем стороны треугольника:

AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((q - 0)^2 + (q - 0)^2) = √(2q^2) = √(2 * 18) = √36 = 6 BC = √((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2) = √((0 - q)^2 + (q - 0)^2) = √(2q^2) = 6 AC = √((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2) = √((0 - 0)^2 + (q - q)^2) = √0 = 0

Заметим, что сторона AC получилась равной нулю, что означает, что точки A и C совпадают, и у нас имеется равнобедренный треугольник ABC.

Таким образом, длина стороны AB равна 6, а стороны AC и BC равны. Сумма квадратов сторон треугольника равна:

AB^2 + BC^2 + AC^2 = 6^2 + 6^2 + 0^2 = 72

Из условия задачи это равно 378:

72 = 378

Такая ситуация невозможна, что означает, что задача имеет неточное условие или была решена неправильно. Пожалуйста, проверьте исходное уравнение и условия задачи, чтобы обеспечить правильное решение. Если у вас есть другие задачи, с удовольствием помогу в их решении.