Question

Решите уравнение:Cos2x+8sinx=3Формула: Cos2x=cos^2x-sin^2x

Answer 1

Решение: 

cos2x+8sinx=3 

cos²x-sin²x+8sinx=3 

1-sin²x-sin²x+8sinx-3=0 

-2sin²x+8sinx-2=0 

sinx=y=>-2y²+8y-2=0(делим обе части на (-2)):y²-4y+1=0;y1=2+V3;y2=2-V3 

1)sinx=2+V3-не подходит 

2)sinx=2-V3=>x=(-1)^k*arcsin(2-V3)+pik

Я ее зеаю может быть нк правильно

Answer 2

Для решения уравнения Cos(2x) + 8sin(x) = 3, воспользуемся формулой Cos(2x) = Cos^2(x) - Sin^2(x), которую вы указали:

Cos(2x) + 8sin(x) = 3

Теперь заменим Cos(2x) на выражение с помощью формулы:

Cos^2(x) - Sin^2(x) + 8sin(x) = 3

Теперь приведем все слагаемые на одну сторону уравнения:

Cos^2(x) - Sin^2(x) + 8sin(x) - 3 = 0

Теперь перепишем Cos^2(x) как (1 - Sin^2(x)):

(1 - Sin^2(x)) - Sin^2(x) + 8sin(x) - 3 = 0

Упростим уравнение:

1 - 2Sin^2(x) + 8sin(x) - 3 = 0

Теперь приведем все слагаемые на одну сторону:

-2Sin^2(x) + 8sin(x) - 2 = 0

Поделим все слагаемые на -2 (чтобы получить положительный коэффициент перед Sin^2(x)):

Sin^2(x) - 4sin(x) + 1 = 0

Теперь это квадратное уравнение по переменной sin(x). Решим его с помощью дискриминанта:

Дискриминант D = (-4)^2 - 4 * 1 * 1 = 16 - 4 = 12

Так как дискриминант D положителен, у уравнения есть два корня:

sin(x) = (-(-4) ± √12) / 2 sin(x) = (4 ± √12) / 2 sin(x) = (4 ± 2√3) / 2 sin(x) = 2 ± √3

Таким образом, получаем два значения sin(x):

1. sin(x) = 2 + √3
2. sin(x) = 2 - √3

Однако, синус не может быть больше 1 по модулю (|sin(x)| ≤ 1), а значения 2 + √3 и 2 - √3 превышают 1. Это означает, что уравнение не имеет решений в области действительных чисел. Уравнение Cos(2x) + 8sin(x) = 3 не имеет решений.