Question

В правильной шестиугольной пирамиде длина бокового ребра равна 1 м. Найти сторону основания пирамиды,при которой ее объем будет наибольшим, а также величину этого объема

Answer 1

Примем сторону основания за а.

Площадь основания равна а²3√3/2.

Проекция бокового ребра на основание равна а.

Тогда высота пирамиды Н = √(1 - а²).

Отсюда определяем функцию зависимости объёма пирамиды от величины стороны основания.

V = (1/3)SoH = (1/3)*(а²3√3/2)*√(1 - а²) = (а²3√3/2)*√(1 - а²)/6.

Производная этой функции равна y' = (а√3(2 - 3a²))/(2*√(1 - а²)).

Приравняем её нулю (достаточно числитель при условии а ≠ 1.

а√3(2 - 3a²) = 0,

2√3а - 3√3а³ = 0,

а(2√3- 3√3а²) = 0,

Получаем 3 корня. а = 0 (не принимаем), а = √(2/3) и а = -√(2/3), который тоже не принимаем.

Ответ: сторона основания пирамиды с боковым ребром 1, при которой её объем будет наибольшим, равна √(2/3.

Объём равен V =  (а²3√3/2)*√(1 - а²)/6 = 2/6 = 1/3.

Answer 2

Чтобы найти сторону основания пирамиды, при которой её объем будет наибольшим, можно использовать производные. Пусть длина стороны основания пирамиды равна "а" метров, тогда её высота также равна "а" метров, так как она равна длине бокового ребра.

Объем правильной шестиугольной пирамиды можно вычислить по формуле:

V = (1/3) * S * h,

где S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Для шестиугольника площадь основания можно найти, разделив его на 6 равносторонних треугольников и зная длину стороны "а":

S = 6 * (площадь равностороннего треугольника с длиной стороны "а").

Площадь равностороннего треугольника можно найти через формулу Герона:

A = (a^2 * √3) / 4,

где "a" - длина стороны треугольника.

Теперь подставим выражение для площади основания в формулу для объема:

V = (1/3) * (6 * (a^2 * √3) / 4) * a.

Упростим:

V = (1/3) * (3 * √3 * a^3).

Теперь найдем производную по "а":

dV/da = √3 * a^2.

Чтобы найти значение "а", при котором объем пирамиды будет наибольшим, приравняем производную к нулю:

√3 * a^2 = 0.

Так как квадрат не может быть отрицательным, то здесь у нас нет решения. Однако, можно заметить, что данное уравнение соответствует минимуму объема, а не максимуму. Так как это правильная пирамида, она ограничена снизу и объем никогда не будет максимальным.

Таким образом, объем правильной шестиугольной пирамиды будет максимальным при максимальной стороне основания, а она бесконечно увеличивается. Отсюда следует, что максимальный объем такой пирамиды будет бесконечным.