Question

Lim x стремиться к бесконечности (x+2/x-2)^3x

Answer 1

Ответ прикрепляю на фото

Answer 2

Чтобы вычислить предел данного выражения, можно воспользоваться правилом Лопиталя, так как это тип неопределенности ∞/∞ при стремлении x к бесконечности.

Правило Лопиталя гласит, что если предел отношения двух функций f(x) и g(x) при x стремится к бесконечности имеет тип неопределенности ∞/∞ или 0/0, то предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных, если последний существует, т.е.:

lim (x → ∞) f(x)/g(x) = lim (x → ∞) f'(x)/g'(x)

Давайте применим это правило к заданному выражению:

f(x) = (x + 2) / (x - 2)^3x

Теперь возьмем производные верхней и нижней частей этой функции:

f'(x) = (1) / (x - 2)^3x - 1 * 3x * (x + 2) / (x - 2)^(3x - 1) * (-1) = (x + 2) / (x - 2)^(3x) - 3(x + 2) / (x - 2)^(3x)

g'(x) = 3(x - 2)^3(x - 2)^3x-1

Теперь рассмотрим предел отношения производных:

lim (x → ∞) f'(x)/g'(x) = lim (x → ∞) [(x + 2) / (x - 2)^(3x) - 3(x + 2) / (x - 2)^(3x)] / 3(x - 2)^3(x - 2)^3x-1

Для упрощения заметим, что (x + 2) / (x - 2)^(3x) и 3(x + 2) / (x - 2)^(3x) оба стремятся к 0, так как в числителе есть x, а в знаменателе - положительная степень x, что приводит к бесконечно малому значению.

Таким образом, предел будет иметь вид:

lim (x → ∞) f'(x)/g'(x) = 0/3(x - 2)^3(x - 2)^3x-1 = 0

Поэтому исходный предел равен:

lim (x → ∞) (x + 2) / (x - 2)^3x = 0