Question

Помогите с задачей!!!! Дам много баллов Иван старше Петра и им обоим меньше ста лет. Если поменять местами две цифры возраста Ивана, то получится возраст Петра. Сколько лет Петру, если разность квадратов возраста Ивана и Петра делится на 7?

Answer 1

Вот.......................

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу шаг за шагом.

Пусть возраст Ивана состоит из двух цифр: AB. Тогда возраст Петра состоит из цифр BA (обратили местами цифры возраста Ивана).

Мы знаем, что возраст Ивана (AB) > возраст Петра (BA) и оба возраста меньше 100, следовательно:

10A + B > 10B + A 9A > 9B A > B

Также из условия известно, что разность квадратов возраста Ивана и Петра делится на 7:

(10A + B)^2 - (10B + A)^2 = (9A)^2 - (9B)^2 = 63k, где k - некоторое целое число.

Теперь разложим это уравнение на множители:

(9A)^2 - (9B)^2 = (9A + 9B)(9A - 9B) = 9 * 9 * (A + B)(A - B) = 63k

Так как 63 = 9 * 7, и 9 и 7 - простые числа, это означает, что оба множителя (A + B) и (A - B) делятся на 7.

Так как возраст не может быть отрицательным, то A > B, и у нас есть два возможных варианта:

1. A + B = 7, A - B = 1
2. A + B = 14, A - B = 2

Рассмотрим первый вариант: A + B = 7 A - B = 1

Из первого уравнения получаем: A = 7 - B Подставляем второе уравнение: 7 - B - B = 1 Решаем уравнение: 7 - 2B = 1 2B = 6 B = 3 A = 7 - 3 = 4

Проверяем условие: (410+3)^2 - (310+4)^2 = 47^2 - 34^2 = 2209 - 1156 = 1053, что делится на 7.

Поэтому возраст Петра равен 3 года.

Ответ: Петру 3 года.