Question

(x+y)dx+(y-x)dy=0 Найти общее решение уравнения (Тема:решение дифференциальные уравнения первого порядка)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение:

$(x+y)dx+(y-x)dy=0$

Для решения данного уравнения, нужно найти функцию $y(x)$, которая удовлетворяет уравнению. Для этого можно использовать метод разделения переменных. Давайте выполним шаги по его решению:

1. Разделим уравнение на $(x+y)$:

$\frac{dx}{x+y}+\frac{dy}{y-x}=0$

2. Перенесем члены с дифференциалами в разные части уравнения:

$\frac{dx}{x+y} = -\frac{dy}{y-x}$

3. Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

$\int{\frac{dx}{x+y}} = -\int{\frac{dy}{y-x}}$

4. Вычислим интегралы:

Для левой части, выполним замену $u = x + y$:

$\int{\frac{dx}{x+y}} = \int{\frac{du}{u}} = \ln|u| + C_1$

Для правой части, выполним замену $v = y - x$:

$-\int{\frac{dy}{y-x}} = -\int{\frac{dv}{v}} = -\ln|v| + C_2$

где $C_1$ и $C_2$ - произвольные постоянные интегрирования.

5. Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$\ln|x+y| + C_1 = -\ln|y-x| + C_2$

6. Выразим константы суммирования в одну:

$\ln|x+y| - \ln|y-x| = C$

7. Используем свойство логарифмов:

$\ln{\left|\frac{x+y}{y-x}\right|} = C$

8. Возведем обе части уравнения в экспоненту:

$\frac{x+y}{y-x} = e^C$

9. Введем новую константу $k$, равную $e^C$:

$\frac{x+y}{y-x} = k$

10. Теперь разрешим уравнение относительно $y$:

$x + y = ky - kx$

$y(1-k) = x(k+1)$

$y = \frac{x(k+1)}{1-k}$

Это уравнение представляет общее решение исходного дифференциального уравнения. Здесь $k$ - произвольная константа, которая может принимать любое значение, кроме $k=1$, чтобы избежать деления на ноль.