Question

√2cosx-sinx=√3 Объясните полное решение

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

√2cosx-sinx=√3;

Подстановка: cosx = $\frac{1-tg^2\frac{x}{2} }{1+tg^2\frac{x}{2}}$;

sinx = $\frac{2tg\frac{x}{2} }{1+tg^2\frac{x}{2}}$

$\sqrt{2} \frac{1-tg^2\frac{x}{2} }{1+tg^2\frac{x}{2}}-\frac{2tg\frac{x}{2} }{1+tg^2\frac{x}{2}}=\sqrt{3};\\ \sqrt{2}(1-tg^2\frac{x}{2} })-2tg\frac{x}{2} =\sqrt{3}(1+tg^2\frac{x}{2});\\\sqrt{2}-\sqrt{2}tg^2\frac{x}{2}-2tg\frac{x}{2} =\sqrt{3}+\sqrt{3}tg^2\frac{x}{2};\\\sqrt{3}tg^2\frac{x}{2}+\sqrt{2}tg^2\frac{x}{2}+2tg\frac{x}{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}=0;\\(\sqrt{3}+\sqrt{2})tg^2\frac{x}{2}+2tg\frac{x}{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}=0;$

Замена:

$tg\frac{x}{2}=t$

$(\sqrt{3}+\sqrt{2})t^2+2t+\sqrt{3}-\sqrt{2}=0;$

$D=4-4(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=0;\\t_1=t_2=\frac{-2}{2(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{-1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-\sqrt{3}$

Возвращаемся к замене:

$tg\frac{x}{2}=\sqrt{2}-\sqrt{3}$

$tg\frac{x}{2}=\sqrt{2}-\sqrt{3};\\\frac{x}{2}=arctg(\sqrt{2}-\sqrt{3})+\pi n\\x=2arctg(\sqrt{2}-\sqrt{3})+2\pi n$

Answer 2

Для решения уравнения √2cosx - sinx = √3, мы должны найти все значения переменной x, которые удовлетворяют данному уравнению. Для этого будем следовать нескольким шагам:

Шаг 1: Приведение к основным тригонометрическим функциям. Прежде чем продолжить, давайте попробуем привести уравнение к более простым тригонометрическим функциям. Заменим √2 на sin(π/4) и √3 на sin(π/3), так как sin(π/4) = √2/2 и sin(π/3) = √3/2.

Теперь уравнение будет выглядеть так: sin(π/4)cosx - sinx = sin(π/3)

Шаг 2: Используем формулу для разности синусов. sin(α - β) = sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β)

Применим формулу с α = x и β = π/4: sin(x - π/4) = sin(π/3)

Шаг 3: Найдем x - π/4 и проверим значения. x - π/4 = π/3 + 2πn или x - π/4 = π - π/3 + 2πn

где n - это целое число (потому что мы можем получить бесконечное количество решений из-за периодичности тригонометрических функций).

Теперь найдем x:

1. x = π/3 + π/4 + 2πn
2. x = π - π/3 + π/4 + 2πn

Решим каждое уравнение для x:

1. x = (π + 4π + 24πn)/12 = (5π + 24πn)/12 = (5π/12) + 2πn

2. x = (12π - 4π + 24πn)/12 = (8π + 24πn)/12 = (2π/3) + 2πn

Таким образом, полное множество решений данного уравнения выглядит следующим образом: x = (5π/12) + 2πn, где n - целое число, или x = (2π/3) + 2πn, где n - целое число.

Это даёт нам бесконечное количество решений, и все они удовлетворяют исходному уравнению.