Question

Здравствуйте помогите решить интеграл - . Я знаю, что тут надо принять и . В итоге получится . А как решать это дальше?

Answer 1

$\int \frac{\sqrt{x}\, dx}{\sqrt{x}+1}=[\; t=\sqrt{x}\; ,\; x=t^2\; ,\; dx=2t\, dt\; ]=\int \frac{t\cdot 2t\, dt}{t+1}=2\int \frac{t^2\, dt}{t+1}=\\\\=2\int (t-1+\frac{1}{t+1})dt=2\cdot (\frac{t^2}{2}-t+ln|t+1|)+C=\\\\=x-2\sqrt{x}+2\, ln|\sqrt{x}+1|+C$

Answer 2

Ответ:

Пошаговое объяснение:

√x=t  ;   x=t² ;  (x)'=(t²)' ;  dx=2tdt

∫ (t2t/(t+1))dt=∫2(t²/(t+1))dt  для упрощения дроби к числителю прибавим и отнимем t+1

2∫((t²+t-t-1+1)/(t+1))dt=2∫(t(t+1)-(t+1)+1)/(t+1))dt=2∫(t-1+(1/(t+1))dt=2∫tdt-2∫dt+2(1/(t+1))dt=2(t²/2)-2t-2∫(1/(t+1)d(t+1)=t²-2t+2LnIt+1I+c=x-2√x+2ln(√x+1)+c

Answer 3

Здравствуйте! Рад помочь с решением интеграла.

Похоже, что часть вашего вопроса содержит ошибку или недостаточно информации. Интеграл имеет следующий вид:

∫(dx / (x^2 + a^2))

Вы правы в том, что можно воспользоваться подстановкой u = x/a. Тогда выразим dx через du: dx = a * du.

Теперь заменим x и dx в интеграле:

∫(a * du / (x^2 + a^2))

Теперь можем выразить x через u: x = a * u.

∫(a * du / (a^2 * u^2 + a^2))

Упростим:

∫(du / (u^2 + 1))

Это уже интеграл от стандартной функции, который можно решить с помощью арктангенса.

∫(du / (u^2 + 1)) = arctan(u) + C

Используя обратную замену u = x/a, получим окончательное решение:

∫(dx / (x^2 + a^2)) = arctan(x/a) + C

Где C - произвольная постоянная интегрирования.