Question

Найдите область определения функции y=log2(внизу)(x^2+2x-35)

Answer 1

1. Логарифмическое выражение должно принимать положительные значения, поэтому для нахождения области определения данной функции решим строгое неравенство:

     y = log2(x^2 - 2x);

     x^2 - 2x > 0.

  2. Выносим множитель x за скобки:

     x(x - 2) > 0.

  3. Произведение двух чисел положительно, если они имеют одинаковый знак:

   [{x > 0;

   [{x - 2 > 0;

   [{x < 0;

   [{x - 2 < 0;

   [{x > 0;

   [{x > 2;

   [{x < 0;

   [{x < 2;

   [x ∈ (2; ∞);

   [x ∈ (-∞; 0);

   x ∈ (-∞; 0) ∪ (2; ∞).

  Ответ: (-∞; 0) ∪ (2; ∞).

Answer 2

Для того чтобы определить область определения функции $y = \log_{2}(\frac{1}{x^2+2x-35})$, необходимо рассмотреть ограничения для входного аргумента, которые делают выражение в знаменателе допустимым.

Значение $x^2 + 2x - 35$ не должно быть равно нулю и не должно быть отрицательным, так как нельзя брать логарифм отрицательных чисел или нуля.

1. Ограничение на знаменатель: $\frac{1}{x^2 + 2x - 35} \neq 0$

Это ограничение выполняется, когда $x^2 + 2x - 35 \neq 0$.

2. Ограничение на аргумент логарифма: $x^2 + 2x - 35 > 0$

Теперь найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 35 = 0$:

$x^2 + 2x - 35 = 0$

Можно решить это уравнение с помощью факторизации:

$(x + 7)(x - 5) = 0$

Таким образом, корни уравнения: $x = -7$ и $x = 5$.

Теперь определим знак выражения $x^2 + 2x - 35$ в интервалах между корнями и за пределами них. Для этого возьмем точки внутри и за пределами интервалов и проверим знак выражения.

Выберем точку $x = 0$: $0^2 + 2 \cdot 0 - 35 = -35$ (отрицательное)

Выберем точку $x = -10$: $(-10)^2 + 2 \cdot (-10) - 35 = 35$ (положительное)

Выберем точку $x = 10$: $10^2 + 2 \cdot 10 - 35 = 75$ (положительное)

Итак, выражение $x^2 + 2x - 35$ положительно для $x < -7$ и $x > 5$.

Теперь объединим оба ограничения: $x^2 + 2x - 35 \neq 0$ и $x^2 + 2x - 35 > 0$.

Область определения функции $y = \log_{2}(\frac{1}{x^2+2x-35})$ - это интервал между корнями уравнения $x^2 + 2x - 35 = 0$, исключая сами корни. Таким образом, область определения функции - это $(-7, 5)$.