Question

Найдите скалярное произведение векторов a и b изображённых на клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 (С решением)

Answer 1

Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин и косинуса угла между ними.

2.7.9.

Построим ΔABC:

$\vec{AB}=\vec a;\quad \vec{AC}=\vec b;\quad \angle (\vec{a} ;\vec b)=\angle BAC$

Тогда

$\vec a\cdot \vec b=\vec{AB} \cdot \vec{AC} =AB\cdot AC\cdot \cos{(BAC)}$

По теореме косинусов, получим:

$AB\cdot AC\cdot \cos{(BAC)}=(AB^2+AC^2-BC^2):2$

Найдём квадраты длин отрезков по теореме Пифагора, как гипотенузы прямоугольных треугольников с вершинами в узлах сетки.

AB² = 3²+2² = 9+4 = 13

AC² = 4²+1² = 16+1 = 17

BC² = 2²+2² = 4+4 = 8

$\vec a\cdot \vec b$ = (13+17-8):2 = (30-8):2 = 22:2 = 11

Ответ: 11.

2.7.10.

Построим ΔABC:

$\vec{AB}=\vec b;\quad \vec{AC}=\vec a;\quad \angle (\vec{a} ;\vec b)=\angle BAC$

Тогда

$\vec a\cdot \vec b=\vec{AC} \cdot \vec{AB} =AC\cdot AB\cdot \cos{(BAC)}$

По теореме косинусов, получим:

$AB\cdot AC\cdot \cos{(BAC)}=(AB^2+AC^2-BC^2):2$

Найдём квадраты длин отрезков по теореме Пифагора, как гипотенузы прямоугольных треугольников с вершинами в узлах сетки.

AB² = 3²+1² = 9+1 = 10

AC² = 3²+3² = 9+9 = 18

BC² = 6²+2² = 36+4 = 40

$\vec a\cdot \vec b$ = (10+18-40):2 = (28-40):2 = -12:2 = -6

Ответ: -6.