Question

Найти область определения y=log2(x^2+16) Решите уравнение Log²₅x+log₅x=3

Answer 1

1)y=log(2)(x²+16)
x²+16>0
x€(-oo;+oo)

2)(log(5)x)²+log(5)x=3
x>0
log(5)x=t
t²+t-3=0
D=1+12=13
t=(-1±√13)/2
log(5)x=(-1±√13)/2
x=5^((-1±√13)/2)

Answer 2

Давайте начнем с первого вопроса:

1. Найти область определения функции y = log2(x^2 + 16):

В области определения логарифма под выражением "log" должно находиться положительное число. Выражение x^2 + 16 должно быть больше нуля, чтобы функция была определена.

x^2 + 16 > 0

Чтобы решить это неравенство, вычтем 16 из обеих сторон:

x^2 > -16

Поскольку квадрат любого реального числа всегда неотрицателен, то данное неравенство имеет решение для всех действительных значений x. Следовательно, область определения функции y = log2(x^2 + 16) состоит из всех действительных чисел.

2. Решить уравнение Log²₅x + log₅x = 3:

Для решения данного уравнения, можно использовать свойства логарифмов. Помните, что logₐ(b) + logₐ(c) = logₐ(b * c).

Применяя это свойство, перепишем уравнение:

log₅(x^2) + log₅(x) = 3

Теперь можно использовать еще одно свойство логарифмов: logₐ(b^m) = m * logₐ(b).

Применим это свойство к первому логарифму:

2 * log₅(x) + log₅(x) = 3

Теперь объединим логарифмы:

3 * log₅(x) = 3

Теперь избавимся от коэффициента 3, разделив обе стороны на 3:

log₅(x) = 1

Теперь перепишем уравнение в эквивалентной форме в виде:

5¹ = x

x = 5

Итак, решение уравнения log₂₅x + log₅x = 3 равно x = 5.