Question

Определить вид кривых второго порядка и изобразить. Желательно чтобы было пояснено как определялся вид кривой.

Answer 1

Даны уравнения:

1) 2х² + 2у² + 8х + 1 = 0.

2) 9x² - 4y² - 1 = 0.

3) 4x² + 4y² - 32x - 64 = 0.

4) 9x² - 18y = 0.

5) 5x² + 4y² - 16 = 0.

1) 2х² + 2у² + 8х + 1 = 0.

  х² + у² + 4х + 0,5 = 0.

  (х² + 4х + 4) - 4 + у² + 0,5 = 0.

  (х + 2) + у² = 3,5   это окружность, центр (-2; 0), R = √3,5.

2) 9x² - 4y² - 1 = 0.

   x²/(1/3)² - y²/(1/2)² = 1   это гипербола, центр (0;0), а = (1/3), в = 1/2.

3) 4x² + 4y² - 32x - 64 = 0, сократим на 4:

    x² + y² - 8x - 16 = 0.

    (x² - 8x + 16) - 16 + у² - 16 = 0,

    (х - 4)² + у² = 32, это окружность, центр (4; 0), R = √32 = 4√2.

4) 9x² - 18y = 0.  сократим на 9:

     x² - 2y = 0.

    x² =  2*1*y, это парабола симметрично оси Оу, р = 1.

5) 5x² + 4y² - 16 = 0, разделим на 16:

    (x²/(4/√5)²) + (y²/(1/2)²) = 1  это эллипс, а = 4/√5, в = 1/2.

Answer 2

Кривые второго порядка — это геометрические кривые, уравнения которых имеют степень не выше второй (первая степень для координат x и y, и вторая степень для коэффициентов). Общий вид уравнения кривой второго порядка можно записать следующим образом:

Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0

Где A, B, C, D, E и F — это некоторые константы, а x и y — переменные координаты.

Определение вида кривой второго порядка происходит путем анализа коэффициентов уравнения. В зависимости от значений этих коэффициентов, кривые второго порядка могут быть разных типов:

1. Эллипс: Если A и B имеют одинаковые знаки, а C = 0, то уравнение представляет собой эллипс.

2. Гипербола: Если A и B имеют разные знаки, а C = 0, то уравнение представляет собой гиперболу.

3. Парабола: Если A = 0 или B = 0, но C ≠ 0, то уравнение представляет собой параболу.

4. Пара пересекающихся прямых: Если A = B = 0, но C ≠ 0, то уравнение представляет собой пару пересекающихся прямых.

5. Пара параллельных прямых: Если A = B = C = 0, но D ≠ 0 или E ≠ 0, то уравнение представляет собой пару параллельных прямых.

6. Вырожденные случаи: Если все коэффициенты A, B, C, D, E и F равны нулю, уравнение представляет собой вырожденный случай.

Для наглядности, изобразим каждый тип кривых второго порядка:

1. Эллипс:

2. Гипербола:

3. Парабола:

4. Пара пересекающихся прямых:

5. Пара параллельных прямых:

6. Вырожденный случай: Для вырожденного случая уравнение представляет собой точку, линию или нулевую плоскость, что визуально трудно представить.

Это лишь краткий обзор кривых второго порядка и их визуализации. Помните, что в реальности кривые могут быть повернуты, масштабированы и смещены, но их базовая форма всегда соответствует одному из перечисленных выше типов.