Question

в десять 100-литровых ведер налито соответственно 1,2,3,4...9,10 литров воды. разрешается взять любые два и перелить из второго в первый столько, сколько уже есть во втором. Удастся ли таким способом собрать всю воду в одном ведре?

Answer 1

Если условие звучит именно так: "переливать из второго ведра в первое столько, сколько есть во втором ведре", то задача сводится к тому, находится ли во всех ведрах в сумме объем воды, меньший или равный объему одного ведра.

Так как ведер 10, то в одном ведре, объемом 100 л. можно собрать воду из 10 ведер даже в том случае, если в каждом из них будет по 10 литров воды:

                     10 · 10 = 100 (л.)

Однако, в имеющихся ведрах объем воды меньше или равен 10 литрам. Следовательно, собрать всю воду в одном ведре будет можно:

 V = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 (л.) < 100 (л.)

Ответ: собрать всю воду в одном ведре будет можно.

-------------------------------------

Усложним задачу и предположим, что из двух, взятых наугад, ведер можно переливать из второго в первое столько воды, сколько есть в первом ведре.

Исходя из условия, переливать можно из ведра с большим количеством воды в ведро с меньшим ее количеством. Иначе из ведра с 1 л нельзя перелить в любое другое ведро столько воды, сколько уже есть в другом.

Тогда последнее переливание должно быть равно по объему половине всей воды.

Объем всей воды в ведрах:

      V = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 (л.)

Половина всего объема воды 27,5 л. Так как объемы воды во всех ведрах являются целыми числами, то собрать всю воду в одном ведре, соблюдая такое условие задачи, не удастся.

Answer 2

Да, удастся собрать всю воду в одном ведре с помощью описанной операции переливания. Это классическая задача, которая может быть решена методом математической индукции.

Давайте посмотрим на процесс:

1. В первом ведре остаётся 1 литр воды, а во втором - 2 литра.
2. Переливаем 1 литр из второго ведра в первое. Теперь в первом ведре 2 литра воды, а во втором - 1 литр.
3. В первом ведре остаётся 3 литра воды, а во втором - 3 литра.
4. Переливаем 3 литра из второго ведра в первое. Теперь в первом ведре 6 литров воды, а во втором - 0 литров.
5. В первом ведре остаётся 10 литров воды, а во втором - 10 литров.

Теперь у нас есть 10 литров воды в первом ведре, и задача выполнена. Можно заметить, что на каждом шаге количество воды в обоих ведрах увеличивается на одинаковое количество литров, поэтому в результате выполнения всех переливаний вода равномерно распределится по всем ведрам, и в конце концов сконцентрируется в одном ведре.