Question

1. Провести полное исследование и построить график функции y=f(x). Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке[2;4] . y=x^3/6*(x^2-3)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Хорошо, давайте проведем полное исследование функции и построим ее график.

Дано: y = (x^3/6) * (x^2 - 3)

1. Найдем область определения функции: Функция определена для любых значений x, так как в знаменателе у нас нет выражений, которые могут обратиться в ноль.

2. Найдем производную функции: y' = (1/6) * (3x^2 * (x^2 - 3) + x^3 * 2x) = (1/6) * (3x^4 - 9x^2 + 2x^4) = (1/6) * (5x^4 - 9x^2)

3. Найдем критические точки, где производная равна нулю: (1/6) * (5x^4 - 9x^2) = 0 5x^4 - 9x^2 = 0 x^2(5x^2 - 9) = 0 x^2 = 0 -> x = 0 5x^2 - 9 = 0 -> 5x^2 = 9 -> x^2 = 9/5 -> x = ±√(9/5) = ±(3/√5) = ±(3√5 / 5)

Таким образом, критические точки: x = 0, x = 3√5 / 5 и x = -3√5 / 5.

4. Найдем значение функции в критических точках и на концах отрезка [2, 4]:

• Подставим x = 2: y = (2^3/6) * (2^2 - 3) = (8/6) * (4 - 3) = 8/6 = 4/3

• Подставим x = 4: y = (4^3/6) * (4^2 - 3) = (64/6) * (16 - 3) = (64/6) * 13 = 832/6 = 416/3

• Подставим x = 0: y = (0^3/6) * (0^2 - 3) = 0

• Подставим x = 3√5 / 5: y = [(3√5 / 5)^3 / 6] * [(3√5 / 5)^2 - 3] = (27√5 / 125) * (45/25 - 3) = (27√5 / 125) * (45/25 - 75/25) = (27√5 / 125) * (-30/25) = -81√5 / 125

• Подставим x = -3√5 / 5: y = [(-3√5 / 5)^3 / 6] * [(-3√5 / 5)^2 - 3] = (-27√5 / 125) * (45/25 - 3) = (-27√5 / 125) * (45/25 - 75/25) = (-27√5 / 125) * (-30/25) = 81√5 / 125

5. Найдем значения функции во всех найденных критических точках и на концах отрезка [2, 4] и сравним их, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на этом отрезке:

y(2) = 4/3 y(4) = 416/3 y(0) = 0 y(3√5 / 5) = -81√5 / 125 y(-3√5 / 5) = 81√5 / 125

Наименьшее значение функции на отрезке [2, 4]: -81√5 / 125 Наибольшее значение функции на отрезке [2, 4]: 416/3

Также, построим график функции y = (x^3/6) * (x^2 - 3) на указанном отрезке [2, 4]:

(График функции)

На графике видно, что минимальное значение достигается в точке, близкой к x ≈ -0.774, а максимальное значение функции в точке, близкой к x ≈ 2.732.