Question

Найти экстремумы функции y=lnx^2+1

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

найдем производную У"=1/x^2*2x=2/x   У" не=0 , точек экстремума нет, возрастающая ф-ция

Answer 2

Для поиска экстремумов функции $y = \ln(x^2 + 1)$ нам необходимо найти её производную и приравнять её к нулю, чтобы определить точки, в которых производная равна нулю (критические точки). Затем мы проверим значение второй производной в этих точках, чтобы определить, являются ли эти точки экстремумами.

1. Найдем производную функции $y$ по $x$: $y' = \frac{d}{dx} (\ln(x^2 + 1))$

Для нахождения производной функции $\ln(x^2 + 1)$ применим цепное правило (chain rule):

$y' = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot \frac{d}{dx} (x^2 + 1)$

$y' = \frac{2x}{x^2 + 1}$

2. Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение:

$\frac{2x}{x^2 + 1} = 0$

Производная равна нулю, когда $2x = 0$. Отсюда получаем $x = 0$.

3. Проверим значение второй производной в критической точке, чтобы определить тип экстремума.

$y'' = \frac{d^2}{dx^2} \left(\frac{2x}{x^2 + 1}\right)$

$y'' = \frac{2(x^2 + 1) - 2x(2x)}{(x^2 + 1)^2}$

$y'' = \frac{2}{(x^2 + 1)^2}$

Подставим $x = 0$ во вторую производную:

$y''(0) = \frac{2}{(0^2 + 1)^2} = 2$

4. Определим тип экстремума:

• Если $y''(0) > 0$, то это является точкой минимума.
• Если $y''(0) < 0$, то это является точкой максимума.
• Если $y''(0) = 0$, тогда тест не дает определенного результата.

В данном случае, $y''(0) = 2 > 0$, поэтому точка $x = 0$ является точкой минимума функции $y = \ln(x^2 + 1)$.

Таким образом, экстремум функции $y = \ln(x^2 + 1)$ - это точка минимума при $x = 0$. График функции будет стремиться к нулю при $x = 0$ и ограничен сверху, не имея максимумов.