Question

Найдите область определения функции y=√(x^2-5x)/(x-2)

Answer 1

Ответ:

y=√(x²-5x)/(x-2)

Подкоренное выражение не может быть меньше 0

х²-5х≥0

х(х-5)≥0

х≥0   х-5≥0

        х≥5

х≤0   х≤5

х∈(-∞;0)∪(5;∞)

Знаменатель не может быть равен 0

х-2≠0

х≠2

Ответ: х∈(-∞;0)∪(5;∞)

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Чтобы найти область определения функции y = √((x^2 - 5x)/(x - 2)), необходимо учесть два условия:

1. Знаменатель не может быть равен нулю, так как деление на ноль не определено.

2. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, иначе извлечение корня будет невозможно для вещественных чисел.

Давайте решим каждое из этих условий:

1. Условие на знаменатель: x - 2 ≠ 0

Это неравенство будет выполняться для всех значений x, кроме x = 2. Таким образом, функция не определена при x = 2.

2. Условие на выражение под корнем: x^2 - 5x ≥ 0

Для решения этого неравенства найдем корни уравнения x^2 - 5x = 0:

x^2 - 5x = 0 x(x - 5) = 0

Корни уравнения: x = 0 и x = 5.

Теперь проведем исследование интервалов между корнями и за пределами корней нашего неравенства:

1. Если x < 0, то оба множителя x и (x - 5) в неравенстве x^2 - 5x ≥ 0 будут отрицательными, следовательно, неравенство будет выполняться.

2. Если 0 < x < 2, то оба множителя x и (x - 5) в неравенстве x^2 - 5x ≥ 0 будут положительными, следовательно, неравенство также будет выполняться.

3. Если 2 < x < 5, то первый множитель x будет положительным, а второй множитель (x - 5) будет отрицательным, следовательно, неравенство x^2 - 5x ≥ 0 не будет выполняться.

4. Если x > 5, то оба множителя x и (x - 5) в неравенстве x^2 - 5x ≥ 0 будут положительными, следовательно, неравенство снова будет выполняться.

Таким образом, функция определена на интервалах: (-∞, 0], (0, 2), (5, +∞).

Объединив области определения из обоих условий, получим окончательный ответ:

Область определения функции y = √((x^2 - 5x)/(x - 2)): (-∞, 0], (0, 2), (5, +∞).